Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕримеры вычислени€ преобразовани€ ‘урье




Ќайдем преобразование ‘урье дл€ функции , где m Ц натуральное число, а Ц невещественна€ посто€нна€. ѕусть, например, .

»нтеграл абсолютно сходитс€ при , но при он существует как условно сход€щийс€ в смысле . ѕри любом этот интеграл удобно вычисл€ть методом контурного интегрировани€. ѕри этом используетс€

Ћемма ∆ордана. ѕусть функци€ голоморфна в полуплоскости всюду, за исключением изолированного множества особых точек, и на полуокружности стремитс€ к нулю при (или по последовательности такой, что не содержит особых точек ). “огда дл€ любого интеграл

стремитс€ к нулю при (или по соответствующей последовательности ).

ƒоказательство леммы ∆ордана. ќбозначим через Ц правую половину . ¬ силу выпуклости синусоиды при имеем и, значит, на справедлива

оценка . ѕоэтому

 

при .

ќценка дл€ проводитс€ аналогично: .

Ћемма ∆ордана доказана.

 

ƒл€ рассмотрим контур так, чтобы выполн€лась лемма ∆ордана дл€ функции при . ¬нутри контура при достаточно большом значении N находитс€ точка Ц полюс подынтегральной функции. ѕо теореме о вычетах

.

”казанный вычет легко сосчитать, если разложить функцию в р€д “ейлора по степен€м :

.

¬ычет есть коэффициент при ; следовательно, дл€

.

”стремл€€ , получаем дл€

ƒл€ надо рассмотреть полуокружность в нижней полуплоскости. «десь по теореме  оши об интеграле по замкнутому контуру от голоморфной функции, получим .

»так, при имеем

 

ƒл€ случа€ аналогично можно найти

 

¬ обоих случа€х функци€ экспоненциально убывает при .

Ћюба€ дробно-рациональна€ функци€, не имеюща€ особенностей на вещественной оси и стрем€ща€с€ к нулю на бесконечности, разлагаетс€ на простейшие дроби вида , где . ѕоэтому полученные формулы позвол€ют написать преобразование ‘урье от любой дробно-рациональной функции, при этом сохранитс€ экспоненциальное убывание при .

 

 

–ассмотрим второй пример. Ќайдем преобразование ‘урье от функции

, .

Ц интеграл от аналитической функции по вещественной оси, z=x+iy. “ак как

, то в любой горизонтальной полосе подынтегральна€ функци€ при стремитс€ к нулю равномерно по y. ѕоэтому, использу€ теорему  оши, можно при интегрировании перейти на любую параллельную пр€мую в z Цплоскости, не измен€€ результата:

 

=

ѕоложим , тогда и по известной формуле

. (»звестна€ формула Ц интеграл веро€тности ).

¬ частности, дл€ , , получаем Ц функцию того же вида, отличающуюс€ от исходной функции только множителем .

 

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 932 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ћаской почти всегда добьешьс€ больше, чем грубой силой. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

2197 - | 2057 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.009 с.