Найдем преобразование Фурье для функции 
, где m – натуральное число, а 
– невещественная постоянная. Пусть, например, 
.
Интеграл 
абсолютно сходится при 
, но при 
он существует как условно сходящийся в смысле 
. При любом 
этот интеграл удобно вычислять методом контурного интегрирования. При этом используется
Лемма Жордана. Пусть функция 
голоморфна в полуплоскости 
всюду, за исключением изолированного множества особых точек, и 
на полуокружности 
стремится к нулю при 
(или по последовательности 
такой, что 
не содержит особых точек ). Тогда для любого 
интеграл
стремится к нулю при (или по соответствующей последовательности ).
Доказательство леммы Жордана. Обозначим через 
– правую половину 
. В силу выпуклости синусоиды при 
имеем 
и, значит, на 
справедлива
оценка 
. Поэтому 
при 
.
Оценка для 
проводится аналогично: 
.
Лемма Жордана доказана.
Для рассмотрим контур 
так, чтобы выполнялась лемма Жордана для функции 
при 
. Внутри контура при достаточно большом значении N находится точка 
– полюс подынтегральной функции. По теореме о вычетах
.
Указанный вычет легко сосчитать, если разложить функцию 
в ряд Тейлора по степеням 
:
.
Вычет есть коэффициент при 
; следовательно, для 
.
Устремляя 
, получаем для
Для 
надо рассмотреть полуокружность 
в нижней полуплоскости. Здесь по теореме Коши об интеграле по замкнутому контуру от голоморфной функции, получим 
.
Итак, при 
имеем
Для случая 
аналогично можно найти
В обоих случаях функция 
экспоненциально убывает при 
.
Любая дробно-рациональная функция, не имеющая особенностей на вещественной оси и стремящаяся к нулю на бесконечности, разлагается на простейшие дроби вида 
, где 
. Поэтому полученные формулы позволяют написать преобразование Фурье от любой дробно-рациональной функции, при этом сохранится экспоненциальное убывание при .
Рассмотрим второй пример. Найдем преобразование Фурье от функции
, 
.
– интеграл от аналитической функции 
по вещественной оси, z=x+iy. Так как
, то в любой горизонтальной полосе 
подынтегральная функция при 
стремится к нулю равномерно по y. Поэтому, используя теорему Коши, можно при интегрировании перейти на любую параллельную прямую в z –плоскости, не изменяя результата:
= 
Положим 
, тогда 
и по известной формуле
. (Известная формула – интеграл вероятности 
).
В частности, для 
, 
, получаем 
– функцию того же вида, отличающуюся от исходной функции только множителем 
.
