Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


Ёлектромагнитные волны в немагнитных анизотропных средах




 

ѕлоска€ монохроматическа€ волна. –аспространение электро≠магнитных волн в прозрачном немагнитном кристалле описываетс€ уравнени€ми ћаксвелла в форме

 

(36)

 

и материальным уравнением

 

(37)  

где E и D - векторы напр€женности и индукции; с - скорость света в ва≠кууме, а по повтор€ющемус€ (немому) индексу к предполагаетс€ сум≠мирование. ѕредположение о прозрачности кристалла приводит к от≠брасыванию в полных уравнени€х ћаксвелла источников пол€ (плот≠ностей зар€да и тока). —войство немагнитности (пренебрежение намаг≠ниченностью) кристалла выражаетс€ равенством Ќ = ¬.

—в€зь (37) между векторами и D осуществл€етс€ при помощи тензора диэлектрической непроницаемости ). ѕон€тие тензора возни≠кает при установлении линейных соотношений между внешним воз≠действием и реакцией на него в анизотропных средах. —кал€рна€ вели≠чина (температура, энерги€) представл€етс€ тензором нулевого ранга, векторна€ величина (напр€женность и индукци€ электрического пол€) - тензором первого ранга. ‘изические свойства кристаллов описываютс€ тензорами разного ранга: нулевого (теплоемкость), второго (диэлек≠трическа€ проницаемость) и т.п. —в€зь между индукцией и напр€жен≠ностью электрического пол€

определ€ет тензор диэлектрической проницаемости , св€занный с из (37) равенством

 

 

(38)

 

“ензоры и обладают свойством симметрии относительно переста≠новки индексов

—ледует иметь в виду, что компоненты и тензоров и зави≠с€т, как и проекции , и векторов D и , от выбора системы коор≠динат (базиса).

≈сли переменное электромагнитное поле распростран€етс€ в кри≠сталле в форме плоской монохроматической волны, то дл€ полей D, , Ќ будем иметь:

 

(39)

 

где - фазовый множитель; - фаза волны; - волновой вектор; - циклическа€ частота. –авенство

 

(40)

 

определ€ет форму фронта волны - поверхности равной фазы. Ћегко ви≠деть, что (40) представл€ет уравнение плоскости, нормаль к которой (волнова€ нормаль) - вектор . ћожно показать, что имеют место соот≠ношени€

 

 

(41)

 

где - фазова€ скорость света в рассматриваемой среде; п - показатель преломлени€ среды, завис€щий от направлени€ единичного вектора волновой нормали m; - волновое число в случае вакуума, когда п = 1; и - длина волны света в среде и вакууме соответственно.

ѕространственно-временна€ зависимость (39) полей D, и Ќ в случае плоской монохроматической волны существенно упрощает

уравнени€ (36), поскольку действие операторов и на пол€ D, , Ќ

сводитс€ к их действию на скал€рную функцию . Ёто дает:

¬ силу этого дл€ полей вида (39) устанавливаетс€ соответствие

 

(42)  

 

— учетом (42) уравнени€ (36) в случае (39) принимают вид:

 

(43)

 

 

ќтсюда следует, что пол€ D, , Ќ имеют одинаковую фазу , причем векторы k, D, H 0 взаимно ортогональны, а 0 в общем случае ортого≠нален лишь вектору Ќ 0. “аким образом, поперечность электромагнит≠ных волн в анизотропных средах сводитс€ к тому, что векторы D () и

Ќ 0 лежат в плоскости волнового фронта. ќбщий случай пространст≠венного расположени€ векторов m, k, D (), H () и 0, удовлетвор€ющих (41) и (43), изображен на рис.9.

»сключив из пары векторных уравнений (43) поле Ќ 0 и поделив на , получим уравнение

которое после преобразовани€ двойного векторного произведени€ при≠нимает вид:

 

(44)

 

где - составл€юща€ пол€ , лежаща€ в плоскости волнового фронта (см. рис.9).

¬оспользовавшись материальным уравнением (37) и введ€ в рас≠смотрение пол€ризацию вектора D 0 (единичный вектор в направлении исследуемого пол€)

,

вместо (44) запишем:

 

 

(45)

¬екторному уравнению (45) соответствуют три (по числу проек≠ций) скал€рных:

 

(46)  

”равнение (45) позвол€ет по известным оптическим свойствам среды (тензор ) рассчитать соответствующие им значени€ показател€

преломлени€ п, а также векторы d дл€ волн, распростран€ющихс€ в кристалле в направлении m.

ƒействительно, представив (46) в форме

 

 

(47)

 

 

придем к системе однородных линейных уравнений относительно неиз≠вестных .  ритерий

существовани€ нетривиального решени€ системы (47) сводитс€ к квадрат≠ному уравнению относительно (дисперсионному уравнению). Ёто озна≠чает, что в общем случае существует не более двух различных значений , обозначаемых посредством .»м соответствуют два значени€ показател€ преломлени€ - и два значени€ фазовой скорости - .

ѕодставив

в матрицу и решив систему (47) вместе с условием нормировки

d2 = 1, найдем пол€ризации и обеих мод плоской монохромати≠ческой волны пол€ D.

ћожно показать, что и ортогональны. — учетом вытекаю≠щей из (43) ортогональности m и заключим: m, , взаимно ор≠тогональны подобно m, D 0, Ќ 0. ¬ случае, когда D 0 коллинеарен вектору d 0 = const, волна называетс€ линейно-пол€ризованной.

»так, при прохождении света через анизотропную среду в общем случае имеет место двойное лучепреломление - раздвоение луча, обус≠ловленное зависимостью показател€ преломлени€ от пол€ризации d и направлени€ m распространени€ волны. ѕроход€ща€ через кристалл волна (39) распадаетс€ на две линейно-пол€ризованные волны, дл€ ко≠торых имеем:

(48)  

¬ любой оптически анизотропной среде существуют особые на≠правлени€ - оптические оси, - вдоль которых раздвоени€ луча не проис≠ходит. ѕо числу (не более двух) этих осей кристаллы подраздел€ютс€ на одноосные и двухосные.

ќптическа€ индикатриса. «адача нахождени€ и может быть проиллюстрирована геометрическими построени€ми, опирающи≠мис€ на использование характеристической поверхности

(49)

тензора , называемой оптической индикатрисой (или эллипсоидом ѕуансо).

 

 

ѕриведение поверхности (49) второго пор€дка к каноническому виду (или, что то же самое, приведение матрицы [ ] к диагональному виду) дает:

(50)  

где , - собственные (главные) значени€ , соответственно. √лавные оси индикатрисы (50) ортогональны. ƒлины ее полуосей именуемые главными показател€ми преломлени€, - характерные пара≠метры вещества. Ќапомним, что они завис€т от частоты колебаний электромагнитного пол€ (39). ¬ таблице приведены некоторые данные о форме оптической индикатрисы и свойствах кристаллов.

‘орма оптической индикатрисы —оотношение между ќптические свойства кристаллов
—фера »зотропные
Ёллипсоид вращени€ ќдноосные
“рехосный эллипсоид ƒвухосные

 


Ќа рис. 10 изображена оптическа€ индикатриса двухосного кри≠сталла вместе с характерными плоскост€ми и ос€ми.

÷ентральным сечением называетс€ крива€, получаема€ от пересе≠чени€ с оптической индикатрисой плоскости волнового фронта, прохо≠д€щего через начало координат (точку 0 на рис. 10). ¬ общем случае эта крива€ - эллипс, все точки которого удовлетвор€ют одновременно и уравнению индикатрисы, и уравнению плоскости волнового фронта. ≈сли по известному вектору m нормали к фронту волны провести через точку 0 ортогональную ему плоскость, то длины полуосей цен≠трального сечени€, соответствующего данному m, представл€ют пока≠затели преломлени€, определ€ющие, согласно (48), фазовые скорости обеих линейно-пол€ризованных волн, распростран€ющихс€ в направле≠нии m.

” оптически изотропных кристаллов (см. таблицу) индикатриса - сфера и все центральные сечени€ - окружности. Ёто означает, что пока≠затель преломлени€ (48) не зависит ни от направлени€ m распростране≠ни€ волны, ни от ее пол€ризации d:

 

(51)

 

–авенство вида (51) имеет место и дл€ оптически анизотропных веществ, но лишь дл€ одного (одноосные кристаллы) или двух (двухос≠ные кристаллы) направлений вектора m. Ќаправление нормали , дл€ которого центральное сечение (см. плоскость на рис. 10) -


окружность, называетс€ оптической осью (или бинормалью). Ќа рис. 10 дл€ направлений и справедливо равенство

ƒл€ одноосных кристаллов (два различных значени€ главных пока≠зателей преломлени€) имеем:

в случае оптически положительных кристаллов:

(52)

в случае оптически отрицательных кристаллов:

(53)

¬следствие этого направлени€ (оптические оси) и совпадают с большой () главной осью эллипсоида (50) в случае (52) и малой () - в случае (53). “аким образом, в одноосных кристаллах первый показа≠тель преломлени€ (53) не зависит от m, а второй - в разных направле≠ни€х различен. ѕервый показатель называют обыкновенным и обозна≠чают ; второй - необыкновенным и обозначают , его значени€ завис€т от направлени€ распространени€ волны.

‘азова€ и группова€ скорости. ¬ анизотропных средах векторы и 0 в общем случае неортогональны, поэтому возникает необходи≠мость введени€, нар€ду с вектором m, нормали к фронту волны другого единичного вектора s (называемого лучевым, или лучом), ортогональ≠ного векторам 0 и Ќ 0 (см. рис.9).

¬ектор m задает направление перемещени€ фронта волны, т.е. на≠правление фазовой скорости. ѕо определению,

где величина фазовой скорости v находитс€ из услови€ посто€нства фазы дл€ точек фронта волны. ѕродифференцировав обе части равенства (40), получим:

ќтсюда с учетом (37), (38) и (41) найдем:

¬ажную роль в теории пол€ играет вектор ѕойтинга

имеющий смысл плотности потока энергии. ¬ рассматриваемом случае (39), (43) плоской монохроматической волны, распростран€ющейс€ в оп≠тически прозрачной анизотропной среде, дл€ лучевого вектора имеем:

¬ыразив 0 и Ќ 0 через D 0 при помощи (37) и (43) и введ€ единичный вектор d, приведем s к виду

ќтсюда с учетом ортогональности векторов и (45) найдем:

“аким образом, угол между векторами D 0 и 0 равен углу между векто≠рами m и s.

ƒл€ описани€ процесса переноса энергии электромагнитной волны вводитс€ вектор групповой скорости u. ≈го направление совпадает с на≠правлением s. ¬ рассматриваемом случае прозрачных немагнитных кри≠сталлов фазова€ и группова€ скорости св€заны равенством

(54)

 

¬ общем случае дл€ групповой скорости имеем:

ƒл€ расчета необходимо знать решение дисперсионного уравнени€ типа (24).

¬ качестве альтернативного часто используетс€ метод, основанный на принципе перестановочной двойственности, который в нашем случае сводитс€ к следующему:

(55)

замена (55), осуществленна€ в соотношени€х дл€ волн, переводит их в соотношение дл€ лучей (и обратно).

«амена (55), выполненна€ в (50), приводит к уравнению

характеристической поверхности тензора (в главных ос€х), име≠нуемой эллипсоидом ‘ренел€. √лавные оси взаимно-обратных (38) тен≠зоров и совпадают, однако длины соответствующих полуосей вза- имно-обратны. ѕостроени€ на эллипсоиде ‘ренел€ идентичны построени€м на индикатрисе (эллипсоиде ѕуансо). Ќаправлени€, пер≠пендикул€рные круговым сечени€м эллипсоида ‘ренел€, называютс€ лучевыми оптическими ос€ми, или бирадиал€ми. ” одноосных кристал≠лов бирадиали совпадают с бинормал€ми, а у двухосных лежат вместе с ними в плоскости оптических осей, котора€ ортогональна средней () главной оси обоих эллипсоидов.

ѕо заданному лучу s рассчитываютс€, подобно (47), (48), пара≠метры луча:

 

(56)

 

»з (48),(54) и (56) следует

¬ заключение еще раз отметим, что оптические свойства крис≠таллов в значительной мере определ€ютс€ свойствами симметрии тен≠зоров и и геометрией соответствующих им квадратичных форм.






ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-07; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1348 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

ƒаже страх см€гчаетс€ привычкой. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

2236 - | 1958 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.061 с.