Симметрия кристаллов

При решении кристаллофизических задач часто оказывается удоб­ной не кристаллофизическая (декартова система координат, условлен­ным образом ориентированная относительно кристаллографической системы), а какая-то другая декартова система координат, направления осей которой определяются геометрией данной задачи. Так как система декартовых координат полностью задается своим ортонормированным базисом, преобразование декартовых координат означает переход от одного ортонормированного базиса к другому.

Преобразование, при котором ортонормированный базис переходит в ортонормированный, называется ортогональным преобразованием.

Пусть старая система координат построена на базисе , а новая -на базисе . Разложение нового базиса по векторам старого определяется коэффициентами , которые образуют матрицу ортогонального преобразования:

Она также называется матрицей косинусов, поскольку каждый ее эле­мент равен косинусу угла между соответствующими координатными осями. Ортогональные преобразования обладают тем свойством, что квадрат определителя их матрицы равен единице [4, с. 135].

Примерами матриц ортогональных преобразований могут выступать:

· матрица вращения вокруг оси Z:

· матрица отражения относительно плоскости XY:

Для описания свойств кристалла введем материальные тензоры. Материальными называются тензоры, которые описывают свойства кристалла.

Пусть с кристаллом связана какая-либо декартова система координат. Набор компонент материального тензора относительно этой системы коор­динат численно характеризует соответствующее свойство. Подвергнем ко­ординатную систему какому-либо ортогональному преобразованию. Ком­поненты материального тензора относительно новой системы, вообще говоря, не равны одноименным его компонентам относительно старой сис­темы. Однако если данное преобразование входит в группу симметрии кристалла, то компоненты материального тензора относительно новой сис­темы совпадают с его компонентами относительно старой. Следовательно, материальный тензор кристалла инвариантен относительно всех преобра­зований симметрии этого кристалла.

Пусть - материальный тензор, а - матрица преобразования симметрии кристалла, свойства которого этот тензор описывает. В новой системе координат

причем компоненты тензора в новой системе должны совпадать с его компонентами в старой системе. Поэтому можно записать:

Отсюда получим:

и эти равенств должны выполняться, если - матрица преобразования симметрии.