Диэлектрический эллипсоид

Вначале рассмотрим некоторый частный случай - диэлектрический шар во внешнем постоянном поле G. Будем обозначать величины внутри шара индексом (i), а вне - (е). Выберем начало сферической системы координат в центре шара, причем азимутальный угол будем отсчитывать от направления G. Будем искать потенциал вне шара в виде

где - потенциал внешнего приложенного поля, а - изменение потенциала, вызванное шаром.

Потенциал как внутри, так и вне шара должен удовлетворять уравнению Лапласа в сферических координатах:

(29)

Найдем частные решения этого уравнения. Наложим ограничения для потенциала внутри шара - конечность во всем объеме шара, для потенциала вне шара - искажение потенциала, вызванное шаром на бесконечности, равно нулю.

Будем искать решение этого уравнения в виде

Так как рассматриваемое тело имеет шаровую симметрию, а внешнее поле - осевую, то

Тогда

Подставив это решение в уравнение (29), получим:

Разделив переменные, получим:

(30) (31)

Для уравнения (30) имеем:

Таким образом, мы получили уравнение Эйлера. Для его решения используем стандартную замену переменных: . Это дает:

Корни характеристического уравнения имеют вид:

Наложив на решение упомянутые выше ограничения, получим:

Сделаем обратную замену переменных :

Найдем функцию из уравнения (31) при :

Видно, что этому уравнению удовлетворяет решение

Тогда

Здесь знак учитывает направление поля внутри шара в соответствии с направлением внешнего поля, так как .

Постоянные А и В находятся из граничных условий:

Применив правила действия оператора

[5, с. 174], найдем при , где R - радиус шара,

Выразим Аиз одного уравнения и подставим в другое:

Отсюда получим:

Теперь мы можем перейти к векторному равенству:

Подставим

Рассмотрим случай бесконечного цилиндра в постоянном поле, перпендикулярном его оси. Потенциал вне цилиндра так же разобьем на две части: внешнего поля и искажения, вызванного цилиндром.

Выберем цилиндрическую систему координат, центр которой находится на оси цилиндра.

Тогда потенциал должен удовлетворять уравнению

(32)

Найдем его в виде

Действуя так же, как в первом случае, подставим это решение в уравнение (32)

и разделим переменные

(33) (34)

Из(33) получим:

Применив стандартную замену переменных в уравнении Эйлера при , получим два частных решения, удовлетворяющих условию конечности во всем объеме цилиндра и равенству нулю на бесконечности:

Решением уравнения (34) при будет . Тогда потенциалы представим в виде

Так же, как и в случае шара, из граничных условий получим:

Выразив А из первого уравнения, подставим его во второе:

Это дает:

Перейдем непосредственно к случаю диэлектрического эллипсоида. Для нахождения поля внутри эллипсоида воспользуемся найденной нами закономерностью. Предположим, что эллипсоид находится в пустоте

() и все три вектора Е, D, G имеют направление вдоль оси х. Тогда, как и в вышеописанных случаях, существует связь:

Для нахождения а и b воспользуемся двумя тривиальными случаями:

если , то Е = D = G, отсюда а + b=1;

если эллипсоид проводящий, т.е. , то индукция внутри эллипсоида не имеет непосредственного физического смысла, но может рассматриваться как формальная величина такая, что: