III. Репрезентативность выборки 1 страница

«Тайну вы, надеюсь, сохраните»

За день до выборов в бундестаг в газетах публикуются данные опросов населения, предсказывающие с точностью до 1% исход избирательной кампании. Читатели удивлены: эти результаты получены на основании 1800 интервью. Выбор этих 1800 опрашиваемых, создание «репрезентативной выборки» часто считается неким тайным средствомдемоскопии.

В действительности математико-статистический аппарат составляет ту часть демоскопического метода, которая наиболее понятна, легче всего усваивается, а также достаточно разработана, по этим вопросам имеется богатая специальная литература[64].

Читателю, интересующемуся проблемами выборки, можно рекомендовать прежде всего раздел «Теория и техника выборочного метода и статистическая проверка гипо тез» в соответствующем томе 103/104книги: Kellerer. Statistik im modernen Wirtschafts- und Sozialleben (S. 110). Наличие этой работы позволяет нам излагать некоторые вопросы выборки конспективно, а иногда просто ссылаться на соответствующие страницы этой книги.

Прогнозы выборов в государственные органы убедительно доказывают, что выборочный метод можно применять при организации опросов, то есть в работе с людьми. Рассмотрение такого рода примеров делает понятным, как по результатам опросов нескольких сотен и тысяч людей можно судить о поведении и установках миллионов.

Про американца доктора Джорджа Гэллапа часто говорят, что он изобрел «исследование общественного мнения», «выборочный опрос». Это не так, репрезентативные опросы развивались постепенно начиная с конца XVIII века. Гэллап привлек всеобщее внимание к исследованиям общественного мнения и добивался доверия к выборочному методу. Особое значение имела его драматическая борьба в 1936 году с американским журналом «Literary Digest», когда Гэллап проводил выборочные опросы с несколькими тысячами интервью, а его противники подготовили неверный прогноз на основании колоссального исследования с рассылкой 10 млн.анкет.

Сравнительно небольшая ошибка в прогнозе Гэллапа в 1948 году — 5% отклонения от действительных результатов голосования, но прежде всего выбор для опроса «не тех» людей — снова оживила все сомнения. К тому же возникла теория о пригодности выборочного метода только для обществ ярко выраженной социальной инте-грированности, как, например, американское. Утверждалось, что в Германии будто бы выборочный метод неприменим. Эта точка зрения снова была убедительно опровергнутапрогнозами выборов в ФРГ[65].

Вероятностные расчеты, на которых базируется выборочный метод и которые объясняют также степень точности прогнозов выборов, делались уже в XVII веке. Но лишь в начале XX века была найдена связь между математикой, лежащей в основе «закона больших чисел», и опросами населения.

В следующемразделе объясняется«закон больших чисел»иегоприменениеврепрезентативныхопросах.

Математическая основа выборочного метода — «закон больших чисел» [66]

Если из большого мешка с орехами достать любые 10 штук и 5 из них будут пустыми, можно делать выводы о содержимом всего мешка. Педант, однако, возразит, что ничего еще не известно об остальных орехах в мешке, и он будет, безусловно, прав: утверждать можно лишь то, что в мешке сверху не менее 5 пустых и не менее 5 полных орехов. Но если признать его абсолютную правоту, то, следуя его образу мыслей, пришлось бы вообще отказаться от оценок и выводов, так как в действительности невозможно или почти невозможно получить полные и точные сведения о всех предпосылках для различного родаоценок и выводов.

Если теперь человек, который вытащил 5 пустых орехов, сделает из этого вывод, что в мешке «почти половина» всех орехов пустые, то он имеет для этого определенное основание. Большинство оценок, с помощью которых мы ориентируемся в нашем поведении, основано на еще болеескудном опыте.

Правда, статистик считает выборку в 10 штук недостаточной и с помощью вероятностных расчетов объясняет, почему он так неохотно делает выводы на основании такого небольшого количества. Легко вычислить, что в нашем случае имеется в виду, когда говорят «почти половина», то есть насколько оценка соответствует действительному содержанию мешка.

При этом важно не то, сколько штук каждого сорта имеется, а то, каково соотношение или каков состав в процентах. Статистические данные о больших количествах чего-либо обычно даются в процентном выражении. Если содержимое мешка хорошо, то есть равномерно перемешано, для нас безразлично, каков его объем: содержит ли он 2000, 20 00Q или два миллиона орехов. Статистик может лишь строить предположения о том, какова вероятность того, что доля пустых орехов в нашем мешке не превысит определенной величины. Так, покупатель может интересоваться, какова вероятность того, что не более 80% орехов пустые. В выбранном примере с 10 орехами, из которых 5 плохих, можно с вероятностью 49 из 50 утверждать, что пустых орехов в мешке не более 80%. Иначе говоря, шансы находятся в отношении 49: 1, что в мешке не больше 80% пустых орехов. Й они находятся в отношении только 3:1, что в мешке максимум 60% гнилых орехов.

Человека, которого интересует этот мешок орехов, не удовлетворят такие неточные сведения. Он попытается выяснить точнее, какую часть содержимого мешка будут составлять пустые орехи. Статистик ему посоветует увеличить выборку, то есть взять из мешка не 10, а, может быть, 100 орехов. Если получится результат 50 пустых на 50 целых орехов, то можно предположить с вероятностью 95 из 100, что часть полных орехов в мешке составляет от 40 до 60% и с вероятностью 99 из 100, что в мешке не меньше 35% и не больше 65% плохих орехов.

Если заинтересованный человек не удовлетворится этим расчетом, то из мешка нужно будет достать еще боль ше орехов, например 1000 штук. Если в этом Случае снова окажется 500 пустых орехов и 500 полных, то имеется вероятность 95 из 100, что мешок содержит полных орехов не меньше 47 процентов и не больше 53 процентов. Мы видим, что надежность предсказания о содержимом мешка увеличивается с увеличением числа проверяемых орехов, с увеличением выборки. Как получаются эти данные о надежности статистических предсказаний, показывают рисунки 9 и 10. Каков должен быть объем выборки, зависит от требуемой точности выводов, или лучше от того, какая точность решения данной проблемы необходима и достижима. Для некоторых естественнонаучных и медицинских исследований возможность статистической оценки 50 случаев уже значительна. Иногда это могут быть также и миллионы отдельных процессов, сведения о которых автоматически фиксируются измерительными инструментами.

О «законе больших чисел» в статистике говорят тогда, когда порядок стандартной ошибки тот же, что и при распространенных измерениях в торговле и на производстве. Измерения с ошибкой менее 1,6 процента в повседневной жизни в общем проводятся только относительно времени и длины. Большинство весов, например буханки хлеба, имеют значительно большие допуски, почтовые весы редко имеют точность больше 2 процентов (это учитывается почтой). Существует так называемый допуск при розливе, который становится действительно заметным только при 10 процентах и более. У дешевых измерительных электрических инструментов допускаются отклонения около 5 процентов, на тахометрах автомобилей не редкость показания с ошибкой в 10 процентов. Пока расчет вероятности осуществляется правильно и указаны его предпосылки (для особого статистического случая), то результаты выборки в пределах от 200 до 2000 элементов вполне могут конкурировать с измерениями, которые считаются в повседневной жизни достаточно надежными и обязательными.

В основе всех этих примеров лежит «закон больших чисел», местом рождения которого является игорный стол. Со времени его первой формулировки, данной Симоном де Пуассоном, прошло более ста лет. В течение этого времени он претерпел многообразные интерпретации. Иные математики обосновывали его преимущественно теоретически, другие главным образом со стороны практической статистики. В редакции Антуана Огюстена Курно этот закон определяется следующим образом:

1. События, вероятность которых очень невелика, случаютсячень редко.

2. Вероятность того, что отклонение относительной повторяемостиотсоответствующейвероятностинепревышаетзаданнуювеличину, будет тем больше, чем больше объем наблюдаемой серии.

Вывод: при достаточно большом объеме наблюдаемой серии относительная повторяемость соответствующей ей вероятности очень редкоотклоняетсябольше,чемназаданнуюмалуювеличину.

Этот закон приобрел такое же влияние в области физики, химии, биологии, медицины, физиологии и социальных наук, как и использование интегрального и дифференциального исчисления. Но статистикам не дает покоя недоверие, которое оказывают применению любой теории на практике. Имеется много сотен серий опытов с разноцветными шариками или с бросанием монет, игральных костей, а также многочисленные результаты анализа номеров рулетки, в которых проверялась пригодность теории вероятности. Все эти опыты в общей сложности подтвердили пригодность теории, исключая такие эксперименты, где, например, условия благоприятствовали появлению одних и тех же определенных чисел (неравномерныекости).

Вестергаард (Westergaard), например, из мешка, наполненного наполовину красными, наполовину белыми шариками, доставал 100 раз по 100 шариков: из них было 5011 белых шариков, 4989 красных. Так как шарики доставали сериями по 100 штук, то получили 100 выборок. Они оценивались по отдельности. Результат этих расчетов для белых шариков представлен на рис. 14. Эта иллюстрация показывает, что в 9 из 100 выборок оказалось точно 50 белых шариков. В 11 из этих выборок было 49 белых шариков.

Только две выборки дали лишь 40белыхшариков. Кривая на рис. 14 показывает идеальный крайний случай прибесконечномповторенииэксперимента. Еслисравнитьееконтурысконтурамикривойнарисунке9, то выявится полное совпадение.

Р(ЮО)

12 _т Число

>—

-Количество белых шариков-Рис. 14.

Как уже сказано, так называемое стандартное отклонение превышается в одной трети случаев, двойное стандартное отклонение — в среднем лишь 5 раз при 100 выборках. В результатах эксперимента, изображенных на рис. 14, стандартное отклонение составляет 5 процентов. Последующий расчет приводит к выводу, что только 30 выборок дают отклонение больше 5 процентов и 5 выборок находятся за пределами двойного стандартного отклонения, то есть отклоняются от средней величины больше, чем на 10 процентов. Этот и многие другие эксперименты, а также эксперименты с косвенным дока зательством, особенно в физике, не оставляют сомнения, что с помощью вероятностного исчисления возможно получить достаточно точные результаты. Правда, для этого необходимы определенные предпосылки для расчетов — проблема, которая заслуживает специального рассмотрения. Уже наш пример с орехами в мешке требует дополнительного исследования, не переместились ли пустые орехи наверх вследствие случайного сотрясения мешка и не накопились ли они там, или не было ли в мешке одного сорта в среднем больше, чем другого, и поэтому такихореховв выборке оказалось больше.

Правило получения корректной выборки из совокупности в простейшей формулировке гласит: каждый элемент совокупности должен иметь равные возможности попасть в выборку. Этим предусматривается также, что выборочный метод можно применять всегда там, где имеется совокупность однородных, но различимых членов или составных частей или других единиц. При этом не обязательно, как в нашем примере с орехами, иметь дело с предметами. Те же законы пригодны также для анализа событий и случаев, и поэтому игры в кости или в рулетку также являются популярными примерами: при этом отдельные броски или туры игры являются единицами совокупности внутри одной игровой серии. На таких простых примерах может экспериментировать каждый, кто захочет проверить сам, как с увеличением числа случаев соотношения становятся все более точными.

Для объяснения и простой проверки выборочного метода особенно хороши кости или белые и черные шарики. На практике все же обычно нас интересуют другие совокупности: в анкетном исследовании речь идет большей частью о населении или важных группах населения, то есть о совокупностях взрослых людей,или избирателей, или домашних хозяек. Элементы таких совокупностей — люди. Таким образом выполняется указанное выше условие применения выборочного метода: элементы совокупности однородны, но различимы.

Кто не понимает этого важного пункта, может подумать, что закон больших чисел найден на игральных костях или на белых и черных шариках, и поэтому было бы наивным применять его к людям. Это, конечно, полное непонимание сути дела. Теория выборочного метода — это математическая модель, которая применима на практике всегда, если имеются определенные условия. Разумен и соответствующим образом применяемый выборочный метод — прекрасный пример того, как человеческий разум может упорядочить многообразие явлений и расчленить их в целях познания или для осуществления планомерной деятельности. Самое удивительное в этом принципе — его простота. Именно поэтому он может применяться ко всему многообразию предметов и явлений, которые для поверхностного наблюдателя не имеют между собой ничего общего.

Практическое применение этого принципа к населению и группам населения несравненно труднее, чем простые статистические эксперименты, которые можно проводить, сидя за зеленым игорным столом. Если, например, нужно получить выборку населения в Федеративной Республике Германии, то понадобятся точные и полные данные, как распределяется население по землям, округам, районам и общинам и как люди или семьи регистрируются или учитываются официальными учреждениями.

Практическая трудность состоит, таким образом, в том, что трудно получить точные данные о всей совокупности, выборочная совокупность формируется в процессе кропотливой работы, и затем людей опрашивают. Другое обстоятельство, которое бросается в глаза, напротив, не доставляет столько трудностей: люди в отличие от черных и белых шариков различаются не по паре признаков, а по бесчисленным признакам; для каждого из этих бесчисленных признаков соответствующим образом справедлив закон больших чисел, если правильно применен выборочный метод и установлен надежный признак выборки.

Снова вернемся к нашему примеру с мешком орехов. Если по тому же принципу, по которому брались орехи из мешка, выбрать из всего населения Федеративной республики около 1000 человек, то их можно, например, делить на мужчин и женщин или на лиц, окончивших народную школу, и лиц с более высоким уровнем школьного образования. Те же самые статистические вероятности, которые встречались в примере с мешком орехов, могут быть вычислены также для этой выборки и для всего населения. Если при этом выяснится, что на 1000 человек приходится 550 женщин и 450 мужчин, то из этого будет сделан вывод, что все население составляют «приблизительно» 55 процентов женщин и 45 процентовмужчин. Затем можно указать вероятность, что в действительности женщин не менее 52 и не более 58 процентов: вероятность 95 из 100. Мы получаем здесь вероятность для оценки точности результатов выборки, как в примере с орехами. Еще на одном примере следует показать, что выборка населения, если она произведена правильно, подчиняется тем же статистическим законам распределения, что и выборка на орехах или черных и белых шариках. На модели репрезентативной выборки в 4000 человек исследовалась частота посещения церкви западногерманским населением. В выборочной совокупности были получены следующиерезультаты:

Посещение церкви

Июль/август 1956 г. %

Регулярно Нерегулярно Редко Никогда

30,3 24,6 28,6 16,5

Если эту выборочную совокупность из 4000 человек распределить на группы по 40 человек, то получим 100 подвыборок. Это распределение.; создает такие же условия, как если бы опрашивали 100 репрезентативных выборок по 40 человек в каждой. Эти подвыборки не обязательно обнаруживают один и тот же процент лиц, которые ходят в церковь «редко». В этих подвыборках получаются результаты с большим или меньшим отклонением. По закону больших чисел при этом небольшие отклонения должнывстречаться чаще,чем значительные.

,В дискуссии о_ результатах выборочных исследований часто упускают из вида, что незначительные различия между двумя результатами не должныj-сразу же становиться основой социологических или психологических интерпретаций. В таких случаях нужно сразу же обращаться к теории, так как она объясняет, является ли расхождение между двумя числами существенным или имеет лишь случайный характер. В дальнейшем эту проблему следует подробнее рассмотреть.

Репрезентативная выборочная, совокупность взрослогонаселения Федеративной республики (900 мужчин

 

 

I2345678910II12 13 14 15 16 I/ 1819 20
>--------- Количество,,редко"посещающих церковь в подвыборках-------------------

Рис. показывает замеры в отдельности. Они подтверждают теоретические ожидания. 27,5 процента «редких» посетителей церкви, то есть 11 из 40 опрошенных, имелось, например, в 18 из 100 подвыборок; напротив, только в одной подвыборке их доля равнялась 10 процентам, то есть 4 из 40 опрошенных. Кривая показывает, какого распределения следовало ожидать, если бы исследовались не100, алюбоебольшоеколичествоподвыборок.

 

и 1100 женщин) отвечала на вопрос: «Каково Ваше мнение: одобряете Вы или не одобряете введение всеобщей воинской повинности?»

37% мужчин и 40% женщин «одобряли». Так как в обоих случаях речь идет о результатах выборочного исследования и статистические ошибки не исключаются, то возникает вопрос, не кроется ли причина расхождения в относительной неточности измерения и не получим ли мы для мужчин и женщин одинаковые результаты, если опросим все 38 миллионоввзрослых.

Расчеты по формуле говорят о шансах около 9 процентов за то, что полученное расхождение может носить характер случайности. Наоборот, 91 шанс из 100 говорит за то, что женщины «одобряют» несколько чаще, чем мужчины. Однако для социолога этот результат был бы недостаточно надежен, и он лишь предположил бы с оговорками, что женщины, по-видимому, чаще одобряют всеобщую воинскую повинность, чем мужчины. Напротив, он мог бы с полным правом утверждать, что мужчины значительно чаще «не одобряют» (55%), чем женщины (41%). Здесь он должен учитывать вероятность ошибки только в 0,0000001%.^

Однако не следует допускать ошибку прямо противоположного свойства и оставлять без внимания все результаты, которые статистически не являются значимыми. Не все значения в пределах допуска обладают одинаковой вероятностью быть выявленными в выборочном исследовании. Наиболее близкие к «истинному» значению обладают большей возможностью, это показано на рис. 15. Вследствие этого можно сказать: обнаруженное в выборочном исследовании значение (величина) обладает большей вероятностью, чем другие значения в пределах допуска, быть истинным значением. В случае незначимых величин следует, кроме того, проверять, подтверждается ли это другими результатами; тогда их можно использовать для анализа слабо выраженных тенденций.

Объяснение к работе со следующими таблицами: для читателя, интересующегося математикой, даются табл. I и II, где он может найти числовыезначенияошибокиграницынадежности.

Предположим, что в выборке из 500 человек 25% составляют холостые. На табл. I ищут п = 500 и р — оценку 25/75. В точке пересечения находят а = 1,94 процента. Теперь можно вычислить с вероятностью 68,269 процента, что доля холостых в действительности находится где-то между 23 и 27 процентами. Наряду с этим остается еще вероятность в 31,731 процента, что в действительности имеется меньше 23 процентов и более 27 процентов холостых. Для кого эта надежность слишком мала, тот может поискать на табл. II соответствующую величину для 2ст = 3,88 процента. Здесь ожидаемая вероятность составляет 95,45 процента, то есть доля холостых приблизительно находится в пределах от 21 до 29 процентов.

Таблица I

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОТКЛОНЕНИЯ Значения а—простое стандартное отклонение (%)

Уровень значимости 68,269%

п—величинавыборочной совокупности

р—частота признака в генеральной совокупности (%)

 

								р
п
	5,00	4,		4,		4,33	4,		3,57	3,
	4,08	4,		3,		3,54	3,		2,91	2,		2,
	3,55	3,		3,		3,07	2,		2,53	2,		1,		1,
	3,16	3,		2.		2,75	2:		2,26	1,		1,		1,		0:
	2,90	2,		2:		2,50	2,		2,07	1,		1,		1,		0,
	2,50	2,		2,	,30	2,16	2:		1,78	1,		1,		и		0,
	2,24	2,		2,		1,94	1,		1,60	1,		1,		0.		0:
	2,05	2,		1,		1,78		,64	1,46	1,		1,	И	0:		0,
	1,89	1.			,74	1,64		,51	1,35	1.	,13		,02		,82	0.	,53
	1,77	1,			,63	1,53		,42	1,26	1,		0.		0.	,77	о,	,50
	1,58	1.			,45	1,37	1.	,26	1,13	0,		0,		о,		0,
	1,45		,42		,33	1,25		,16	1,03		,86		,78		,63		,41
	1,35	1,	,31		,23	1,16		,07	0,96	о;	,81		,72		,59		,38
	1,25		,22		,15	1,08		,00	0,90		,75		,68	0,	,55		,35
	1,18		,16		,09	1,02		,95	0,84		,71		,64		,51		,33
	1,12		,10		,03	0,97		,90	0,80		,67		,60		,49		,31
2 500	1,00		,98		,92	0,86		,80	0,71		,60		,54		,44		,28
3 000	0,92		,90		,84	0,79		,73	0,65		,55		,50		,40		,26
	0,79		,77		,73	0,69		,63	0,56		,47		,43		,34		,22
5 000	0,70		,69		,65	0,61		,56	0,50		,42		,38		,31		,20
6 000	0,65		,64		,60	0,56		,52	0,46		,39		,35		,28		,18
7 000	0,60		,59		,55	0,52		,48	0,43		,36		,32		,26		,17
8 000	0,56		,55		,52	0,48		,45	0,40		,34		,30		,24		,16
10 000	0,50		,49		,46	0,43		,40	0,36		,30		,27		,22		,14
15 000	0,41		,40		,38	0,35		,33	0,29		,24		,22		,18		,11

Примечание. Пустоты в правом верхнем углу объясняются тем, что между маленьким «п» и маленьким «р» (или при «р», близком к 100%) величина для о* не может быть выражена одним числом. (Би-номное распределение заметно асимметрично и отклоняется от нормального распределения, то есть числовые выражения ошибок в направлениях вверх и вниз принимают различные значения.) Стандартнуюошибку («среднюю ошибку»)

Таблица II

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОТКЛОНЕНИЯ Значения 2ст—двойное стандартное отклонение (%)

Уровень значимости 95,45%

и—величина выборочной совокупности

р — частота признака в генеральной совокупности (%)

 

									р
п
	10,00		,80		',20		,66		,00		,14
	8,16	£	;,оо		,52		,08		,52		,82
	7,10		,94		,52		,14		,68		,06		,26
	6,32		,20		,82		,50		,06		,52		,80		,42
	5,80		,68		,30		,00		,64		,14		,48		,14
	5,00		,90		,60		,32		,00		,56		,00		,70		,18
	4,48		,40		,12		,88		,60		,20		,68		,42		,94
	4,10		,00		,78		,56		,28		,92		,46		,22		,78
	3,78		,70		,48		,28		,02		,70		,26		,04		,64
	3,54		,46		,26		,06		,84		,52		,12		,90		,54		,00
	3,16		,10		,90		,64		,52		,26		,90		,70		,38		,88
	2,90		,84		,66		,50		,32		,06		,74		,56		,26		,82
	2,70		,62		,46		,32		,14		,92		,62		,44		,18		,76
1 600	2,50		,44		,30		,16		,00		,80		,50		,36		ДО		,70
	2,36		,32	2,	,18		,04		,90		,68		,42		,28		,02		,66
2 000	2,24	2.	,20		,06	1,	,94		,80	1.	,60		,34		,20		,98		,62
2 500	2,00	1,	,96	1,		1,		1,		1,		1,		1,	,08	0,	,88		,56
3 000	1,84	1,		1,		1,		1,		1,		1,		1.	,00	0.	,80		,52
4 000	1,58	1,		1,	,46	1,		1,		1,		0,		0,		0,		0.	,44
5 000	1,40	1,		1,		1,		1,		1,		0,		0,		0,		о,	,40
6 000	1,30	1,		1,		1,		1,		0,		0,		0,		о,		0.	,36
7 000	1,20	1,		1,		1,		0,		0,		0,		о,		о,		о,
8 000	1,12	1,		1,		0,		0,		о,		о,		0,		о,		0,
10 000	1,00	0,		0,		0,		0,		о,		о,		о,		0,		о,
15 000	0,82	0,		0,		о,		о,		о,		о,		о,		о,		0,

Примечание. Пустоты в правом верхнем углу объясняются тек, что при маленьком «п» и при маленьком <ф» (или «р», близьом к 100%) нельзя выразить величину сг одним единственным числом. (Би-номное распределение становится заметно асимметричным и отклоняется от нормального распределения, то есть ошибки в направлениях вверх и ваиз приобретают различные значения выражения.)