Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ƒискретизаци€ двумерных сигналов [9]




ѕр€моугольный растр дискретизации. »з способов обобщени€ одномерной периодической дискретизации на двумерный случай наиболее простым €вл€етс€ периодическа€ дискретизаци€ в пр€моугольных координатах:

s(n,m) = sa(nDx,mDy),

где Dx и Dy - горизонтальный и вертикальный интервалы дискретизации двумерного непрерывного сигнала sa(x,y) с непрерывными координатами x и y. Ќиже значени€ Dx и Dy, как и в одномерном случае, принимаютс€ равными 1.

ƒискретизаци€ двумерного, а в общем случае и многомерного сигнала, также приводит к периодизации его спектра и наоборот. —охран€етс€ также и условие информационной равноценности координатного и частотного представлений дискретного сигнала при равном количестве точек дискретизации в главных диапазонах сигнала. ƒл€ пр€моугольной дискретизации св€зь фурье-преобразований непрерывного и дискретного сигналов устанавливаетс€ аналогично одномерной дискретизации.

»нтегральные преобразовани€ ‘урье аналоговых сигналов в непрерывной шкале частот Wx и Wy:

Sa(Wx,Wy) = sa(x,y) exp(-jWxx-jWyy) dxdy. (18.4.1)

sa(x,y) = Sa(Wx,Wy) exp(jWxx+jWyy) dWxdWy. (18.4.2)

ƒискретные преобразовани€ ‘урье:

S(k,l) = s(n,m) exp(-jn2pk/N-jm2pl/M), (18.4.3)

S(k,l) = exp(-jn2pk/N) s(n,m) exp(-jm2pl/M), (18.4.3')

s(n,m) = S(k,l) exp(-jn2pk/N-jm2pl/M). (18.4.4)

s(n,m) = exp(-jn2pk/N) S(k,l) exp(-jm2pl/M). (18.4.4')

¬ыражени€ (18.4.3') и (18.4.4') показывают, что двумерное ƒѕ‘ по пр€моугольному растру дискретизации данных может вычисл€тьс€ с помощью одномерных последовательных ƒѕ‘. ¬торые суммы выражений €вл€ютс€ одномерными ƒѕ‘ сечений функций s(n,m) и S(k,l) по лини€м n и k соответственно, а первые - одномерными ƒѕ‘ вычисленных функций в сечени€х по m и l. ƒругими словами, исходные матрицы значений s(n,m) и S(k,l) пересчитываютс€ сначала в промежуточные матрицы с ƒѕ‘ по строкам (или по столбцам), а промежуточные - в окончательные с ƒѕ‘ по столбцам (или соответственно по строкам).

»нтерпол€ционный р€д восстановлени€ двумерного сигнала. ≈сли непрерывный сигнал sa(x,y) €вл€етс€ сигналом с ограниченным спектром, а периоды дискретизации выбраны достаточно малыми и спектры соседних периодов не перекрываютс€:

Sa(Wx,Wy) = 0 при |Wx| p/Dx, |Wy| p/Dx,

то, как и в одномерном случае, сигнал sa(x,y) может быть восстановлен по дискретному сигналу с использованием двумерного аналога р€да  отельникова-Ўеннона:

sa(x,y) = Sn Sm s(n,m) . (18.4.5)

—игнал с неограниченным спектром также может быть дискретизирован, однако в этом случае имеет место наложение спектров в смежных периодах, при этом высокие частоты, большие частоты Ќайквиста, будут "маскироватьс€", как и в одномерном случае, под низкие частоты главного периода. Ёффект "отражени€" от границ периода дает еще более сложную картину вследствие интерференции частот, отраженных по разным координатам.

–ис. 18.4.1.

ѕроизвольный растр дискретизации. ѕон€тие пр€моугольной дискретизации обобщаетс€ на произвольный растр дискретизации с линейно независимыми векторами v1 = (v11,v21)T и v2 = (v12,v22)T, где T - индекс транспонировани€ (рис. 18.4.1).  оординаты двумерного периодического множества отсчетов на плоскости (x,y):

x = v11n + v12m,

y = v21n + v22m.

— использованием векторных обозначений:

=

где = (x,y)T, =(n,m)T, =(v1 | v2)- матрица дискретизации. ќпределитель матрицы не равен нулю, если вектора v1 и v2 линейно независимы. ѕри дискретизации непрерывного сигнала sa(x,y) матрицей формируетс€ дискретный сигнал:

s() Ü sa( ).

ƒвумерное интегральное преобразование ‘урье непрерывного сигнала по непрерывному вектору = (W1,W2)T:

Sa() = sa() exp(-j T ) d , (18.4.6)

sa() = Sa() exp(j T ) d , (18.4.7)

ƒанные интегралы €вл€ютс€ двойными, поскольку дифференциалы d и d €вл€ютс€ векторами.

ѕреобразование ‘урье дискретного сигнала:

S() = Sn s() exp(-j T ), (18.4.8)

s() = S() exp(j T ) d . (18.4.9)

где: = (wх,wу)T .

¬ыражение s() может быть получено дискретизацией выражени€ sa() (18.4.7):

s() = sa( ) = Sa() exp(j T ) d .

ѕосле подстановки в это выражение значени€ = T, получаем:

s() = Sa( / T) exp(j ) d .

»ли, с учетом периодичности по квадратным област€м плоскости :

s() = Sa(( -2p )/ T) exp(j ) d , (18.4.10)

где - вектор целочисленных значений периодов дискретизированной функции по ос€м wх и wу. —равнива€ последнее выражение с выражением (18.4.9), получаем:

S() = Sa(( -2p )/ T),

S( T) = Sa( - ), (18.4.11)

где - матрица периодичности:

= 2p , (18.4.12)

которой задаютс€ два линейно независимых вектора периодичности спектра, - единична€ матрица 2 х 2. ¬ыражение (18.4.11) определ€ет св€зь между преобразовани€ми ‘урье дискретных и аналоговых сигналов.

–ис. 18.4.2.

 ак и в одномерном случае, интервалы дискретизации Dx и Dy определ€ют главный период двумерного спектра соответственно по ос€м wx и wy и частоты Ќайквиста: wxN = p/Dx и wyN = p/Dy. —пектр дискретного сигнала также €вл€етс€ периодическим продолжением спектра аналогового сигнала. ƒл€ исключени€ искажений спектра (наложени€ спектров боковых периодов на главный период) предельные частоты сигнала должны быть меньше частот Ќайквиста. Ќа рис. 18.4.2 приведен пример центральной части спектра дискретного сигнала при Dx=1 и Dy=1.

¬ случае пр€моугольной дискретизации:

, det = DхDу, (18.4.13)

. (18.4.14)

»нтерпол€ци€ дискретных сигналов. ƒл€ сигнала с ограниченным спектром изменением матрицы дискретизации можно подобрать матрицу периодичности таким образом, чтобы в правой части выражени€ (18.4.11) не было перекрыти€ спектров. “огда дл€ значений по точкам T области — главного периода спектра выражение (18.4.11) упрощаетс€:

S( T) = Sa() / |det |. (18.4.15)

Sa() = |det | S( T) = |det | S(), Î —. (18.4.16)

»з выражени€ (18.4.16) следует, что при корректной дискретизации непрерывной двумерной функции ее спектр с точностью до нормировочного множител€ |det | может быть восстановлен по спектру дискретной функции. —оответственно, выполнив обратное преобразование ‘урье левой и правой части равенства (18.4.16), получим уравнение восстановлени€ непрерывной функции по ее дискретному варианту (многомерный аналог интерпол€ционного р€да  отельникова-Ўеннона):

sa() = s() exp(j T ( - )) d .

sa() = s() f( - ), (18.4.17)

где f(..) Ц интерпол€ционна€ функци€:

f( - ) = exp(j T ( - )) d . (18.4.18)

¬се приведенные векторные уравнени€ могут быть обобщены на –-мерные функции с заменой константы 4p2 там, где она встречаетс€, на (2p)P.

ѕр€моугольный и гексагональный растры дискретизации. ¬ принципе, сигнал с ограниченным спектром можно представить по различным растрам дискретизации. ¬ыбор растра обычно производ€т из услови€ минимальной плотности отсчетов на плоскости, т.е. минимизацией величины |det |, при котором обеспечиваетс€ отсутствие наложений дл€ частот анализируемых сигналов.

Ќа практике дл€ двумерных сигналов используют, как правило, только два варианта растров дискретизации - пр€моугольный и гексагональный. ѕр€моугольному варианту соответствуют диагональные матрицы дискретизации и периодичности (18.4.13-14). ƒл€ гексагональной дискретизации, пример которой приведен на рис. 18.4.1, в частном случае при Dt = Dх каждый отсчет располагаетс€ на равном рассто€нии от шести ближайших отсчетов, при этом матрицы дискретизации:

, .

ƒопустим, имеем сигнал с частотным спектром, ограниченным круговой областью частот wr:

Sa(wх,wу) = 0 при wх2+wу2 > wr2.

 ругова€ область частот вписываетс€ без перекрытий в квадрат со стороной 2wr или в шестиугольник со стороной 2wr/ . ћатрицы дискретизации:

пр = , det = p2/wr2,

гекс = , det = 2p2/(wr2 ).

ѕоскольку плотность отсчетов пропорциональна 1/|det |, то отсюда следует, что дл€ представлени€ одного и того же сигнала гексагональный растр дискретизации требует на 13.4% меньше отсчетов по сравнению с пр€моугольным. Ёффективность "гексагональной" матрицы возрастает при увеличении размерности сигнала. “ак, при 4-мерном сигнале дл€ "гексагональной" матрицы требуетс€ в 2 раза меньше отсчетов, чем дл€ "пр€моугольной".





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-06; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 601 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—тудент всегда отча€нный романтик! ’оть может сдать на двойку романтизм. © Ёдуард ј. јсадов
==> читать все изречени€...

2072 - | 1856 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.026 с.