В уравнении (5.2) коэффициент теплопроводности lе был использован для обозначения l на грани е контрольного объема, соответственно lw — на грани w. Если коэффициент теплопроводности является функцией х, будем знать lе только в узловых точках W, P, E и т.д. В этом случае необходимо каким-то образом определить коэффициент теплопроводности на грани контрольного объема, например определить lе через значения коэффициентов теплопроводности в узловых точках.
Обсуждение, проведенное ниже, не имеет отношения к случаю постоянного коэффициента теплопроводности. Переменный коэффициент теплопроводности может быть результатом неоднородности материала (например, составные пластины).
Даже в однородном материале зависимость коэффициента теплопроводности от температуры может привести к его изменению, вызванному изменением температуры. В дифференциальном уравнении общего вида, записанном относительно Ф, коэффициент диффузии Г может изменяться аналогично коэффициенту теплопроводности l.
Существенные изменения Г встречаются довольно часто, например, при турбулентном течении, где Г может играть роль коэффициента турбулентной вязкости или теплопроводности. Таким образом, сама постановка задачи для переменного l или Г достаточно оправдана.
Наиболее простым способом определения коэффициента теплопроводности на грани контрольного объема является предположение о линейном изменении l между точками Р и Е. Пусть
, (5.4)
где 
— интерполяционный коэффициент, равный отношению отрезков, показанных на рисунке.
Если грань контрольного объема расположить посередине между узловыми точками, то 
будет равно 0,5 и lе будет средним арифметическим lP и lE.
В дальнейшем покажем, что в некоторых случаях это простое приближение дает не совсем правильные выводы и не обеспечивает точной аппроксимации при резких изменениях коэффициента теплопроводности, что может иметь место в составных материалах. Имеется сравнительно простои способ, дающий лучшие результаты. Развивая этот способ, понимаем, что на самой грани контрольного объема е не существует локального значения коэффициента теплопроводности, которое нас интересует.
Основная цель данного рассмотрения — получение хорошего представления для теплового потока qe на грани контрольного объема:
, (5.5)
которое в сущности используется в дискретном аналоге. Соотношение, определяющее lе, следует выбрать так, чтобы получить правильное значение qe.
Предположим, что контрольный объем, окружающий узловую точку Р, заполняет материал с постоянным коэффициентом теплопроводности lP, а объем, окружающий точку Е,— материал с коэффициентом теплопроводности lE. Для составной пластины с границей слоев, расположенной между точками Р и Е,для случая стационарной одномерной задачи (без источников теплоты) запишем
(5.6)
Объединяя уравнения (5.4) — (5.6), получаем
(5.7)
Когда грань е расположена посередине между точками Р и Е,имеем 
, тогда
(5.7а)
Из уравнений (5.7) видно, что lе представляет собой среднее гармоническое величин lP и lE,вместо среднего арифметического, которое дает уравнение (5.4) при .
Эффективность этой формулировки видна из следующих двух предельных случаев.
1. Пусть lE → 0, тогда lе → 0.
Это означает, что тепловой поток на грани контрольного объема становится равным нулю, что и следовало ожидать. Выражение, представляющее собой среднее арифметическое, в этом случае будет давать ненулевое значение теплового потока.
2. Пусть lP >> lE, тогда 
.
Из этого результата следуют два вывода, один из которых очевиден. Уравнение показывает, что коэффициент теплопроводности поверхности раздела lе совершенно не зависит от lP. Это вполне понятно, так как высокопроводящая среда, окружающая точку Р, должна иметь пренебрежимо малое сопротивление по сравнению со средой вокруг точки Е. Второй вывод заключается в том, что lе не равно lE, а больше этого значения в 1/ fe раз.
Рассмотрение этих двух предельных случаев показывает, что при использовании соотношения (5.7) можно аппроксимировать резкие изменения коэффициента теплопроводности, не применяя чрезмерно частой сетки.
