Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Дифференциальные уравнения второго порядка




С постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

(4.12)

где - некоторые действительные числа, - некоторая функция. Мы будем рассматривать однородные уравнения (), т. е. уравнения вида

(4.13)

v Рассмотрим решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами.

Для нахождения общего решения однородного уравнения составляем его характеристическое уравнение:

.

Находим его корни. При этом, если:

1. Корни вещественные различные, т.е. , то общее решение уравнения имеет вид:

(4.14)

2. Корни вещественные кратные, т.е. , то общее решение уравнения имеет вид:

(4.15)

3. Корни комплексные, т.е. , то общее решение имеет вид:

(4.16)

Пример.

.

Решение.

Запишем и решим характеристическое уравнение:

,

, .

Тогда общее решение данного уравнения имеет вид:

.

Пример.

Решение.

,

,

- корни кратные, вещественные,

- общее решение.

Пример.

.

Решение.

,

,

- корни комплексные,

- общее решение.

 

V. Числовые ряды

 

Основные понятия

 

Определение 1. Пусть задана бесконечная последовательность чисел , тогда выражение называется числовым рядом. При этом числа называются членами ряда.
Определение 2. Ряд называется сходящимся, если сумма его первых членов при стремится к конечному пределу : . Число называется суммой сходящегося ряда. Ряд не сходящийся называется расходящимся.

Необходимый признак сходимости ряда Если ряд сходится, то его -й член стремится к нулю при неограниченном возрастании , т.е.

.

Следствие Если -й член ряда не стремится к нулю при , то ряд расходится.

 

Замечание Выполнение необходимого признака сходимости не говорит о том, что ряд сходится. Это следует показать с помощью одного из достаточных признаков.

 

Достаточные признаки сходимости

v Признак Даламбера

Если в ряде с положительными членами отношение -го члена к -му при имеет предел , т.е.

,

то:

1) ряд сходится в случае ,

2) ряд расходится в случае ,

3) вопрос остается нерешенным в случае .

Пример.

Исследовать сходимость ряда .

Решение:

, .

Тогда:

;

таким образом, данный ряд сходится.

 

v Радикальный признак Коши

Если для ряда с положительными членами:

,

величина при имеет предел , т.е.:

,

то:

1) ряд сходится в случае ;

2) ряд расходится в случае ;

3) вопрос остается нерешенным в случае .

Пример.

Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

,

тогда:

.

Таким образом, ряд расходится.

 

v Интегральный признак сходимости ряда

Пусть члены ряда положительны и не возрастают, а – такая непрерывная не возрастающая функция, что:

.

Тогда:

1) ряд сходится, если несобственный интеграл сходится (равен конечному числу);

2) ряд расходится, если несобственный интеграл расходится, т.е. равен , или он не существует (ни конечный, ни бесконечный).

Пример.

Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Применим интегральный признак, положив . Эта функция удовлетворяет всем условиям признака.

Рассмотрим интеграл.

т.е. для случая .

интеграл сходится ряд сходится.

Для случая интеграл расходится ряд расходится.

 

v Сравнение рядов с положительными членами

Пусть даны два ряда с положительными членами:

(5.1)

, (5.2)

тогда:

1) если и ряд (5.2) сходится, то и ряд (5.1) является сходящимся;

2) если и ряд (5.2) расходится, то расходится и ряд (5.1).

Пример.

Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Сравним данный ряд с рядом , члены которого, начиная со второго, образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Сумма этого ряда равна , т.е. он сходящийся. Каждый член исходного ряда меньше соответствующих членов ряда .

Таким образом, исходный ряд сходится, причем его сумма не превосходит .

 

v Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Если в знакочередующемся ряде:

,

члены таковы, что и , то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

1) – каждый член ряда по модулю меньше предыдущего;

2) , т.о. по признаку Лейбница ряд сходится.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-11-12; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 384 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Если президенты не могут делать этого со своими женами, они делают это со своими странами © Иосиф Бродский
==> читать все изречения...

2487 - | 2350 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.013 с.