С постоянными коэффициентами
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
(4.12)
где - некоторые действительные числа, - некоторая функция. Мы будем рассматривать однородные уравнения (), т. е. уравнения вида
(4.13)
v Рассмотрим решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами.
Для нахождения общего решения однородного уравнения составляем его характеристическое уравнение:
.
Находим его корни. При этом, если:
1. Корни вещественные различные, т.е. , то общее решение уравнения имеет вид:
(4.14)
2. Корни вещественные кратные, т.е. , то общее решение уравнения имеет вид:
(4.15)
3. Корни комплексные, т.е. , то общее решение имеет вид:
(4.16)
Пример.
.
Решение.
Запишем и решим характеристическое уравнение:
,
, .
Тогда общее решение данного уравнения имеет вид:
.
Пример.
Решение.
,
,
- корни кратные, вещественные,
- общее решение.
Пример.
.
Решение.
,
,
- корни комплексные,
- общее решение.
V. Числовые ряды
Основные понятия
Определение 1. | Пусть задана бесконечная последовательность чисел , тогда выражение называется числовым рядом. При этом числа называются членами ряда. |
Определение 2. | Ряд называется сходящимся, если сумма его первых членов при стремится к конечному пределу : . Число называется суммой сходящегося ряда. Ряд не сходящийся называется расходящимся. |
Необходимый признак сходимости ряда Если ряд сходится, то его -й член стремится к нулю при неограниченном возрастании , т.е.
.
Следствие | Если -й член ряда не стремится к нулю при , то ряд расходится. |
Замечание | Выполнение необходимого признака сходимости не говорит о том, что ряд сходится. Это следует показать с помощью одного из достаточных признаков. |
Достаточные признаки сходимости
v Признак Даламбера
Если в ряде с положительными членами отношение -го члена к -му при имеет предел , т.е.
,
то:
1) ряд сходится в случае ,
2) ряд расходится в случае ,
3) вопрос остается нерешенным в случае .
Пример.
Исследовать сходимость ряда .
Решение:
, .
Тогда:
;
таким образом, данный ряд сходится.
v Радикальный признак Коши
Если для ряда с положительными членами:
,
величина при имеет предел , т.е.:
,
то:
1) ряд сходится в случае ;
2) ряд расходится в случае ;
3) вопрос остается нерешенным в случае .
Пример.
Исследовать на сходимость ряд .
Решение.
,
тогда:
.
Таким образом, ряд расходится.
v Интегральный признак сходимости ряда
Пусть члены ряда положительны и не возрастают, а – такая непрерывная не возрастающая функция, что:
.
Тогда:
1) ряд сходится, если несобственный интеграл сходится (равен конечному числу);
2) ряд расходится, если несобственный интеграл расходится, т.е. равен , или он не существует (ни конечный, ни бесконечный).
Пример.
Исследовать сходимость ряда .
Решение.
Применим интегральный признак, положив . Эта функция удовлетворяет всем условиям признака.
Рассмотрим интеграл.
т.е. для случая .
интеграл сходится ряд сходится.
Для случая интеграл расходится ряд расходится.
v Сравнение рядов с положительными членами
Пусть даны два ряда с положительными членами:
(5.1)
, (5.2)
тогда:
1) если и ряд (5.2) сходится, то и ряд (5.1) является сходящимся;
2) если и ряд (5.2) расходится, то расходится и ряд (5.1).
Пример.
Исследовать на сходимость ряд .
Решение.
Сравним данный ряд с рядом , члены которого, начиная со второго, образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Сумма этого ряда равна , т.е. он сходящийся. Каждый член исходного ряда меньше соответствующих членов ряда .
Таким образом, исходный ряд сходится, причем его сумма не превосходит .
v Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Если в знакочередующемся ряде:
,
члены таковы, что и , то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд .
Решение.
1) – каждый член ряда по модулю меньше предыдущего;
2) , т.о. по признаку Лейбница ряд сходится.