Основными методами интегрирования являются непосредственное интегрирование при помощи основных свойств неопределенного и определенного интеграла и таблицы интегралов, метод подстановки (замены переменной) и интегрирование по частям.
Метод непосредственного интегрирования
Метод состоит в том, что с помощью алгебраических преобразований подынтегральная функция приводится к табличной или их сумме. Рассмотрим этот метод на примерах.
Примеры:
1. 
.
2. 
.
3. 
Метод подстановки
Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла или интеграла, берущегося тем или иным известным приемом. Такой метод называется методом подстановки, а также методом замены переменной.
Рассмотрим функцию 
, где 
, тогда:
(3.1)
Формула (3.1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
После нахождения интеграла 
надо вместо 
подставить его выражение через 
. В определенном интеграле возврат к переменной не обязателен, но в этом случае при замене переменной необходимо изменить пределы интегрирования, т. е. воспользоваться формулой:
.
Примеры.
1. 
.
Обозначим 
, тогда 
и, следовательно, 
.
.
2. 
.
3. 
.
4.
|
| Полагаем  . Дифференцируя это соотношение, находим
|
|  , откуда  . Находим теперь новые пределы интеграла. Для этого из соотношения определяем
|
|
| значения  при  и  при  . Итак, имеем
|
В приведенных выше примерах метод замены переменной быстро привел к цели. Однако удачный выбор новой переменной обычно представляет известные трудности. Для их успешного преодоления необходимо хорошо владеть техникой дифференцирования, уметь «прикидывать», что даст та или иная подстановка, и твердо знать табличные интегралы.
Интегрирование по частям
Пусть функции 
и 
непрерывно дифференцируемы на некотором промежутке, тогда:
. (3.2)
Формулу (3.2) обычно записывают в виде:
. (3.2*)
Для определенного интеграла она такова:
.
Эти формулы называются формулами интегрирования по частям. Правильнее было бы назвать их формулами частичного интегрирования. При известных 
и 
они сводят нахождение интеграла от 
после частичного интегрирования к нахождению интеграла от 
. Иногда удается функции и выбрать так, что новый интеграл либо сам является табличным, либо сводится к табличным интегралам уже известными методами.
При этом следует учитывать, что за принимается функция, которая дифференцированием упрощается, а за 
- та часть подынтегрального выражения, содержащая 
, интеграл от которой известен или может быть найден.
Так, при вычислении интегралов вида 
, 
, 
за следует принять многочлен 
, а за - соответственно выражения - 
, 
, 
.
При вычислении интегралов вида 
, 
, 
за следует принять выражение 
, а за - соответственно функции 
, 
, 
.
Примеры.
1. 
. Полагаем 
. Тогда 
и, значит, по формуле (3.2*). 
.
2. 
.
3. 
Формулу интегрирования по частям применили дважды.
4. 
.
Интегрирование рациональных функций
Рациональной функцией называется дробь вида 
, где и 
- целые многочлены.
Рациональная дробь называется правильной, если степень ниже степени , в противном случае дробь называется неправильной.
Если дробь неправильная, то путем почленного деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов следует выделить целую часть и правильную дробь. Поэтому будем рассматривать интегрирование правильных дробей, поскольку интегрирование целой части не вызывает затруднений.
