Метод неопределенных коэффициентов.

Так как интегрирование многочлена не представляет трудностей, то достаточно научиться интегрировать правильные рациональные дроби. Сформулированная ниже теорема позволяет свести интегрирование любой правильной рациональной дроби к интегрированию элементарных дробей.

Теорема. Если - правильная рациональная дробь, знаменатель которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (с действительными коэффициентами):

(3.3)

то эта дробь может быть разложена на элементарные дроби по следующей схеме:

(3.4)

где - некоторые действительные числа.

Практически разложение конкретной правильной рациональной дроби на сумму элементарных дробей обычно производят методом неопределенных коэффициентов. Для этого:

§ разлагают знаменатель на произведение линейных и квадратичных множителей;

§ записывают разложение дроби по схеме (3.4) с неопределенными коэффициентами;

§ приводят элементарные дроби к общему знаменателю ;

§ приравнивают многочлен, получившийся в числителе, к многочлену .

Для того чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при одинаковых степенях у них были равны. Учитывая это замечание, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства, получая тем самым систему алгебраических уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов.

Существование такой системы вытекает из сформулированной выше теоремы.

Примеры.

1. .

Решение.

Имеем:

Отсюда:

. (*)

а) Первый способ определения коэффициентов.

Перепишем тождество (*) в виде:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим:

Отсюда:

; ; .

б) Второй способ определения коэффициентов.

Полагая в тождестве (*), будем иметь: , т.е. .

Полагая , получим: , т.е. .

Далее, полагая , будем иметь: , т.е. .

Следовательно:

2. Найти: .

Решение.

Имеем:

;

, т.е. .

Таким образом: , и .

Следовательно:

Интегрирование тригонометрических выражений

Рассмотрим интеграл следующего вида:

1. Если (нечетное), тогда полагают:

и делают замену ;

2. Если (нечетное), тогда полагают:

и делают замену ;

3. Если и - четные, то преобразуют с помощью формул:

, , ;

4. Если и - целые отрицательные числа одинаковой четности (, ), тогда полагают:

и делают замену .

Интегралы вида:

, , ,

вычисляются при помощи формул:

;

При интегрировании тригонометрических выражений также применяют универсальную подстановку .

ІV. Дифференциальные уравнения

Основные понятия

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной переменной и производные различных порядков данной функции.

В общем случае дифференциальное уравнение можно записывать в виде:

(4.1)

при этом порядок старшей производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения (4.1) называется такая функция , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения (4.1) -го порядка называется такое его решение:

(4.2)

которое является функцией переменной и произвольных независимых постоянных . (Независимость постоянных означает отсутствие каких-либо соотношений между ними).

Частным решение дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .

К дифференциальным уравнениям приводят многие задачи экономики, физики, биологии, экологии и т.п.

v Уравнения, интегрируемые непосредственно.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением, интегрируемым непосредственно, если оно может быть представлено в виде:

(4.3)