1. Найти ОДЗ функции 
.
2. Найти вторую производную функции 
.
3. Найти точки, в которых вторая производная 
или не существует.
4. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.
5. Найти значения функции в точках перегиба.
Пример.
Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции 
.
Решение.
1. ОДЗ: 
.
2. 
(см. пример №3).
.
3. Т.е. 
при 
и 
.
 |
+ – +
1 
4. 
на интервалах 
и 
, следовательно, на этих интервалах функция вогнута.
на интервале 
. Следовательно, функция на нем выпукла.
5. и есть точки перегиба.
Асимптоты графика функции
| Определение. | Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки  , лежащей на кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки графика от начала координат.
|
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
1. Вертикальные.
Если при 
, то 
- вертикальная асимптота.
Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции 
.
2. Наклонные.
Прямая 
является наклонной асимптотой графика функции , если существуют конечные пределы:
, 
.
3. Горизонтальные.
Горизонтальные асимптоты – частный случай наклонных 
.
Пример.
Найти асимптоты кривой 
.
Решение.
Функция определена в интервалах 
, а 
и 
-точки разрыва. Так как 
, то прямая 
является вертикальной асимптотой кривой; 
, т.е. прямая не является вертикальной асимптотой. Горизонтальных асимптот кривая не имеет, так как 
и 
не являются конечными величинами. Определим, существуют ли наклонные асимптоты.
Находим:
;
.
Таким образом, существует правая наклонная асимптота 
.
Аналогично находятся:
;
.
Итак, существует наклонная асимптота 
.
Общая схема исследования функций и построения их графиков
1. Найти область определения функции и точки разрыва.
2. Исследовать функцию на четность (
) – нечетность (
), периодичность (
).
3. Найти точки пересечения графика функции с осью 
и если это несложно – с осью 
.
4. Найти асимптоты кривой.
5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы.
6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.
7. На основе проверенного анализа построить график функции.
Пример.
Исследовать функцию 
и построить ее график.
Решение.
1. Область определения 
, т.е. 
. Точка 
– точка разрыва.
2. Четность, нечетность, периодичность:
.
Значит, функция не является ни четной, ни нечетной; и не является периодичной, т.к. нет такого Т, чтобы выполнилось равенство .
3. График функции проходит через начало координат.
4. Так как 
– точка разрыва, найдем предел функции при 
:
Таким образом, прямая 
является вертикальной асимптотой.
Проверим, имеет ли кривая наклонные асимптоты:
.
.
Т.о., прямая 
- наклонная асимптота.
Горизонтальных асимптот нет.
5. Экстремумы и интервалы монотонности. Найдем:
.
Производная обращается в ноль, если 
, т.е. при 
; производная не существует при 
.
Однако критическими точками являются только точки 
(так как значение не входит в область определения функции).
Поскольку при 
, а при 
, то 
- точка максимума и 
- максимум функции ( - точка разрыва, т. е. в ней функция не может иметь экстремума).
На интервале 
функция убывает, на интервалах 
- возрастает.
6. Интервалы выпуклости и точки перегиба. Найдем:
.
Вторая производная обращается в ноль при х=0 и не существует при х=-1. Очевидно, что на интервале 
и функция вогнута на этом интервале на интервалах 
, 
и на этих интервалах функция выпукла. Точкой перегиба является 
.
7. По данным исследований строим график:
| ||||||||||||||||||||||||
| -3 -1 0 2 |
| |||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||
ІІІ. Интегральное исчисление
