v Уравнение с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде:
(4.7)
или в виде:
(4.8)
где 
- некоторые функции переменной 
; 
- функции переменной 
.
Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной окажутся в одной части равенства, а переменной - в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства.
Пример
Решить уравнение 
.
Решение.
.
Умножим обе части равенства на 
.
.
Получившееся равенство разделим на 
.
;
откуда:
; 
; 
; 
.
v Однородные дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде:
, (4.9)
где 
- некоторая функция (одной переменной).
Понятие однородного дифференциального уравнения связано с однородными функциями. Функция 
называется однородной степени 
, если для произвольного числа 
выполняется равенство:
(4.10)
Однородные уравнения при помощи подстановки 
приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.
Пример.
Решить уравнение: 
.
Решение.
Так как 
, то уравнение имеет вид (4.9) при 
. Положим 
, отсюда 
и 
. Подставим в преобразованное уравнение:
,
.
Получим уравнение с разделяющимися переменными:
.
Разделим обе части равенства на 
и умножим на (
, т.е. 
, но следует отметить, что 
является решением исходного уравнения).
.
Интегрируя почленно последнее равенство, получаем:
,
,
.
Возвращаясь к первоначальным переменным, получим:
, откуда 
(при 
получаем решение ).
v Линейные дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид:
(4.11)
где 
и 
- некоторые (непрерывные) функции переменной .
Рассмотрим один из возможных способов решения уравнения: будем искать решение в виде 
, тем самым искомыми становятся функции 
и 
, одна из которых может быть выбрана произвольно, а другая – должна определяться из уравнения (4.11). Т.е. используется в решении замена 
.
Пример.
Решить уравнение: 
.
Решение.
Разделив левую и правую части на приходим к линейному неоднородному уравнению:
.
Пусть 
, , тогда уравнение примет вид:
или 
.
Пользуясь тем, что одну из вспомогательных функций (например 
) можно выбрать произвольно, подберем ее так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. в качестве возьмем одно из частных решений уравнения с разделяющимися переменными.
или 
; откуда: 
.
Проинтегрировав, найдем какое-либо частное решение этого уравнения, например, при 
, откуда 
.
При исходное уравнение обратится в уравнение:
или 
.
Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получаем 
. Тогда окончательно имеем:
.
