Во многих случаях возникает необходимость ввести ещё одну числовую характеристику для измерения степени рассеивания, разброса значений, принимаемых случайной величиной ξ,вокруг её математического ожидания.
Определение. Дисперсией случайной величины ξ называется число.
D ξ = M(ξ-M ξ) 2. (1)
Другими словами, дисперсия есть математическое ожидание квадрата отклонения значений случайной величины от её среднего значения.
Число
(2)
называется средним квадратичным отклонением
величины ξ.
Если дисперсия характеризует средний размер квадрата отклонения ξ oт Mξ, то число 
можно рассматривать как некоторую среднюю характеристику самого отклонения, точнее, величины | ξ-Mξ |.
Из определения (1) вытекают следующие два свойства дисперсии.
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. Это вполне соответствует наглядному смыслу дисперсии, как «меры разброса».
Действительно, если
ξ=С, то Mξ=C и, значит Dξ=M(C-C)2= M 0=0.
2. При умножении случайной величины ξ на постоянное число С её дисперсия умножается на C2
D(Cξ)= C 2 Dξ. (3)
Действительно
D(Cξ)=M(C 
= M(C 
.
3. Имеет место, следующая формула для вычисления дисперсии:
. (4)
Доказательство этой формулы следует из свойств математического ожидания. Мы имеем:
4. Если величины ξ 1 и ξ 2 независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий:
. (5)
Доказательство. Для доказательства используем свойства математического ожидания. Пусть Mξ 1 =m 1, Mξ 2 =m 2, тогда.
Формула (5) доказана.
Так как дисперсия случайной величины есть по определению математическое ожидание величины (ξ –m)2, где m=Mξ, то для вычисления дисперсии можно воспользоваться формулами, полученными в §7 гл.II.
Так, если ξ есть ДСВ с законом распределения
| x 1 | x 2 | ... |
| p 1 | p 2 | ... |
то будем иметь:
. (7)
Если ξ непрерывна случайная величина с плотностью распределения p(x), тогда получим:
Dξ = 
. (8)
Если использовать формулу (4) для вычисления дисперсии, то можно получить другие формулы, а именно:
, (9)
если величина ξ дискретна, и
Dξ = 
, (10)
если ξ распределена с плотностью p (x).
Пример 1. Пусть величина ξ равномерно распределена на отрезке [ a,b ]. Воспользовавшись формулой (10) получим:
Можно показать, что дисперсия случайной величины 
, распределенной по нормальному закону с плотностью
p(x) = 
, (11)
равна σ2.
Тем самым выясняется смысл параметра σ, входящего в выражение плотности (11) для нормального закона; σ ecть среднее квадратичное отклонение величины ξ.
Пример 2. Найти дисперсию случайной величины ξ, распределенной по биномиальному закону.
Решение. Воспользовавшись представлением ξ в виде
ξ = ξ 1+ ξ 2+…+ ξn (см. пример 2 §7 гл. II) и применяя формулу сложения дисперсий для независимых величин, получим
Dξ=Dξ 1 +Dξ 2 +…+ Dξn.
Дисперсия любой из величин ξi (i =1,2,…, n) подсчитывается непосредственно:
Dξi=M(ξi)2- (Mξi)2=02· q +12 p - p 2= p (1- p)= pq.
Окончательно получаем
Dξ = npq, где q= 1 – p.
