Так же как и раньше мы определим двумерную непрерывную случайную величину 
как такую случайную величину, функция распределения которой 
непрерывна.
С помощью функции можно найти вероятность любого события вида
, (6)
т.е. вероятность попадания точки с координатами в прямоугольник Q вида
(Рис.1)
 |
Для этого применим к событиям 
и 
формулу сложения вероятностей:
Если теперь учесть, что события 
и (6) несовместны и в сумме составляют событие 
, то будем иметь:
что и решает поставленную задачу.
Перечислим ряд свойств функции .Их доказательство проводится так же, как и в случае одной случайной величины 
.
1. F(x2,y2)+F(x1,y1)-F(x1,y2) - F(x2,y1) ≥0, если х1≤х2, у1≤у2 это следует из (7)
2. F(x, y) является неубывающей функцией по каждому из аргументов.
3. F(x, y) непрерывна слева по каждому из аргументов.
4. F(x, y) удовлетворяет соотношениям:
F (+∞, +∞) = 
F(х, y) =1,
Свойства 1-4, как можно показать, являются характеристическими свойствами функции распределения. Это значит, что любая функция F(х, у), удовлетворяющая свойствам 1-4, является двумерной функцией распределения для некоторой системы случайных величин (ξ,η).
Рассмотрим наиболее важный класс систем (ξ,η) с непрерывным распределением, для которых существует плотность вероятности.
Определение. Двумерная случайная величина (ξ,η) с функцией распределения F(x,y) имеет плотность вероятности, если существует неотрицательная функция
p(x, y) такая, что
F(x, y) = 
. (8)
Функция p(х,у) называется двумерной плотностью распределения (или плотностью вероятности) системы (ξ, η).
Из определения плотности p(x, y) следуют её свойства.
p(х,y)≥0, 
. (9)
Функция p(х,у), удовлетворяющая (9), может быть плотностью некоторого распределения с функцией распределения, заданной формулой (8).
Из формулы (8) следует, что
p(х,у) = 
. (10)
Заметим, что в случае непрерывного распределения, вероятность события ((ξ,η) 
Г), где Г-кривая на плоскости, равна нулю.
Из определения также следует, что
Fξ (x)= 
.
В случае существования плотности формула (7) преобретает наглядный вид:
P(x1≤ξ≤x2, y1≤η≤y2) = 
, (11)
где Q - прямоугольник (см. рис.1).
Из формулы сложения вероятностей и определения двойного интеграла, отсюда следует, что вероятность попадания точки с координатами (ξ,η) в заданную (измеримую) область произвольной формы G будет равна
P ((
) G)= 
. (12)
Примером многомерной плотности служит плотность p(x,y) равномерного распределения на области G конечной площади μ (G)в плоскости, задаваемая равенством
p(x,y) = 
Если В какая то область на плоскости, то вероятность
P ((ξ,η) B)) в этом случае определяется отношением площадей B ∩ G и G:
. (13)
По этой формуле вычисляются, так называемые, геометрические вероятности (см. §7 гл.1).
