Определение. Множество точек на числовой прямой R называется борелевским если оно может быть получено из множеств вида 
применением конечного или счётного числа операций объединения, пересечения и дополнения.
Класс борелевских множеств достаточно широк. В нём содержатся множества вида: 
Практически все встречающиеся в приложениях числовые множества являются борелевскими.
Пусть (Ω, S, P) произвольная вероятностная схема (связанная с некоторым опытом) и 
- случайная величина. Рассмотрим числовую функцию 
. Подставляя вместо х случайную величину ξ, мы получим новую случайную величину 
.
На функцию наложим ограничение: для любого борелевского множества В множество 
является событием, т.е. принадлежит S.
К множеству таких функций принадлежат, в частности, непрерывные и кусочно непрерывные функции (непрерывные функции на числовой прямой за исключением конечного числа точек разрыва 1-го рода). В дальнейшем мы такие функции и будем рассматривать.
Рассмотрим пример, когда случайная величина 
есть ДСВ или НСВ.
Пример 1. Пусть ξ есть ДСВ и 
- возможные значения ξ, а 
- их вероятности. Тогда множество значений случайной величины будет состоять из множества чисел 
. Среди этих чисел могут быть совпадающие. Подсчитаем теперь вероятности различных значений величины η.
Пусть 
, тогда событие 
есть сумма несовместных событий вида 
и, значит:
(1)
Итак, чтобы найти вероятность события 
, нужно из всех возможных значений 
величины ξ выбрать те, для которых 
и просуммировать их вероятности.
Пример 1. Пусть закон распределения величины ξ имеет вид:
Значение 
| -2 | -1 | ||||
| Вероятности | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,05 | 0,15 | 0,2 |
Найдём закон распределения случайной величины 
.
Возможные значения η будут: 
т.е. 0,1,4,9. Их вероятности будут равны:
Следовательно, закон распределения для η будет:
| Значение η | ||||
| Вероятности | 0,3 | 0,25 | 0,25 | 0,2 |
Рассмотрим ещё два примера вычисления функции распределения 
и плотности 
случайной величины по функции распределения 
и плотности 
.
Пример 2. Пусть функция 
монотонно возрастает. Тогда у неё существует обратная функция 
, такая, что 
. Тогда, если , имеем:
(2)
Дифференцируя (2) по х, имеем (в предположении, что дифференцируема и имеется плотность ), используя производную для сложной функции:
= 
,
откуда получаем (используя производную для обратной функции) соотношение между плотностями
. (3)
В частности, при 
имеем 
и значит плотность распределения случайной величины 
имеет вид
.
Пример 3. Пусть 
– непрерывная функция распределения с плотностью 
.
В данном случае функция 
не является монотонной и, поэтому, нельзя применить формулу (3).
Вычислим непосредственно, исходя из её определения.
При 
имеем 
При 
получаем
Беря производную от левой и правой частей, получаем, используя формулу для производной сложной функции:
при 
,
