Методы решения дифференциальных уравнений высокого порядка и систем уравнений

 

Приведенные выше методы построения формул численного интегрирования одного дифференциального уравнения без всяких изменений переносятся на случай систем уравнений и уравнений высокого порядка.

Для уравнений высокого порядка необходимо перейти к нормальной форме Коши

,

и все рассмотренные выше операции выполняются над векторами.

Например, схема Эйлера выглядит следующим образом:

,

или для элементов вектора в виде

.

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка будет давать следующую вычислительную схему:

,

где

,

,

,

.

Для элементов вектора соответственно имеем

,

где

,

,

,

.

Вычислительные схемы, основанные на формулах Адамса, строятся аналогичным образом.

Основная проблема при решении уравнений высокого порядка – это переход к нормальной форме Коши. Если правая часть уравнения является укороченной, т.е. имеет место уравнение вида

,

то переход к нормальной форме является простым – вводятся новые переменные:

В этом случае нормальная форма Коши записи дифференциального уравнения будет выглядеть следующим образом:

Если правая часть не является укороченной, то есть имеет место уравнение вида:

,

то нормальная (каноническая) форма Коши будет иметь следующий вид:

(8.25)

где

, .

Как видим, для приведения уравнения -го порядка с переменными коэффициентами к канонической форме уравнений первого порядка необходимо, чтобы существовали производные от коэффициентов этого уравнения до -го порядка включительно.

Аналогичная процедура выполняется и для нелинейных уравнений.

Рассмотрим нелинейное уравнение второго порядка

,

где

­– произвольная нелинейная функция.

Перейдем к нормальной форме Коши. Система уравнений в данном, частном случае, будет следующей

,

,

,

Функции , , вычисляются согласно приведенным выше формулам, а именно:

,

,

.

Формула (8.25) в векторно-матричном виде выглядит следующим образом

, (8.26)

где

, (8.27)

,

, .

Рассмотрим реализацию неявного метода Адамса на примере формулы (8.24) для системы линейных уравнений (8.26).

Формула Адамса (8.24) для системы уравнений будет иметь вид

.

Подставляя в нее правые части уравнения (8.26), записанные в форме (8.27), будем иметь

.

Преобразуем данное уравнение относительно переменной :

(8.28)

Если ввести обозначения

,

,

выражение (8.28) приобретает вид

. (8.29)

Уравнение (8.29) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно искомого решения . Решение последнего находится в виде

.

Как видим, при реализации неявных методов, построенных по схеме Адамса, на каждом шаге интегрирования приходится решать систему линейных алгебраических уравнений.

Для повышения сходимости вычислительных схем рекомендуется использовать малый шаг интегрирования .

 

 

[1] «В среднем» здесь понимается в вероятностном смысле.

[2] Имеется более общее определение числа обусловленности:

 

Здесь задается через векторные нормы и может быть применено к вырожденным матрицам. В случае обратимых матриц при использовании согласованных матричных норм отсюда получается.

* от англ. Successive over relaxation

* _{В зарубежной литературе используется аббревиатура ADI- Alternating Direction Implicite}

* Полагая,видим, что, в силу 2.3 и 2.1,.

* Через здесь обозначается спектральный радиус указанной вскобках матрицы

* Здесь и далее под дифференцируемостью понимается дифференцируемость по Фреше (см. приложение 1).

** т.е. на множестве точек таких, что.