Векторная запись нелинейных систем уравнений. Метод простых итераций

 

Пусть требуется решить систему уравнений

, (7.1)

где , ,…, – заданные, вообще говоря, нелинейные (среди них могут быть и линейные) вещественнозначные функции вещественных переменных .

Обозначив

, , ,

данную систему (7.1) можно записать одним уравнением.

(7.1a)

относительно векторной функции F векторного аргумента .

Таким образом, исходную задачу можно рассматривать как зада­чу о нулях нелинейного отображения .

Начнем изучение методов решения нелинейных систем с наиболее простого метода.

Пусть система (7.l) имеет вид (преобразована к виду):

(7.2)

или иначе, в компактной записи,

, (7.2а)

где

.

Для этой задачи о неподвижной точке нелинейного отображе­ния запишем формально рекуррентное равенство

, (7.3)

которое определяет метод простых итераций (МПИ) (или метод последовательных приближений) для задачи (7.2).

Если начать процесс построения последовательности с некоторого вектора и продолжить по формуле (7.3), то при определенных условиях эта последователь­ность со скоростью геометрической прогрессии будет прибли­жаться к вектору – неподвижной точке отображения . А именно, справедлива следующая теорема.

Теорема 7.1. Пусть функция и замкнутое множество таковы, что:

1) ;

2)

Тогда имеет в единственную неподвижную точку ; последовательность , определяемая МПИ (7.3), при любом сходится к и справедливы оценки

.

Однако практическая ценность такой теоремы не так велика из-за неконст­руктивности ее условий. В случаях, когда имеется хорошее началь­ное приближение к решению , больший интерес для прило­жений может представить следующая теорема

Теорема 7.2. Пусть функция дuфференцируема* в замкнутом шаре** причем . Тогда, если центр и радиус шара , таковы, что , то справедливо за­ключение теоремы 7.1 с .

Учитывая, что в линейном случае, как правило, по сравнению с МПИ более эффективен метод Зейделя (см. (6.12) и теорему 6.7), здесь может оказаться полезной подобная модификация. А именно, вместо (7.3) можно реализовать следующий метод покоординатных итераций:

(7.4)

Заметим, что как и для линейных систем, отдельные урав­нения в методе (7.4) неравноправны, т.е. перемена местами урав­нений системы (7.2) может изменить в каких-то пределах число итераций и вообще ситуацию со сходимостью последовательности итераций. Чтобы, применить метод простых итераций (7.3) или его зейделеву модификацию (7.4) к исходной системе (7.1), нужно, как и в скалярном случае, сначала тем или иным способом привести ее к виду (7.2). Это можно сделать, например, ум­ножив (7.1а) на некоторую неособенную -матрицу – и прибавив к обеим частям уравнения – вектор неизвестных . Полученная система

эквивалентна данной и имеет вид задачи о неподвижной точке (7.2а). Проблема теперь, состоит лишь в подборе матричного параметра такого, при котором вектор-функция обладала бы нужными свойствами.