Быстросходящийся итерационный способ обращения матриц.

Если матрица мала (в смысле ее нормы или собственных значений), то обратная к матрица

в принципе, может быть найдена сколь угодно точно приближенным суммированием данного матричного ряда. Однако такой непосредственный подход к вычислению имеет два очевидных недостатка: во-первых, реально его можно применить лишь для обращения матриц, близких к единичной, во-вторых, сходимость последовательностей частичных сумм этого ряда будет медленной даже при достаточно малых нормах матриц . Поэтому, пользуясь отмеченным фактом лишь как теоретической основой, построим итерационный процесс, определяющий существенно более быстро сходящуюся последовательность приближений к обратной для матрице . Будем далее обозначать эти приближения, получаемые на -м шаге, через , а их невязки – через .

Лемма 6.3. Если для матрицы найдется такая обратимая матрица , что модули всех собственных чисел матрицы меньше единицы, то матрица обратима и для обратной матрицы справедливо представление

(6.31)

Лемма 6.4. Пусть матрица обратима и .

Тогда:

1) существует матрица ;

2) справедливо представление по формуле (6.31);

3) имеет место оценка

Для построения итерационного процесса зафиксируем в разложении (6.31) первых слагаемых и будем считать первым приближением к матрицу

Найдем выражение невязки этого приближения через невязку предыдущего (в данном случае начального) приближения :

(6.33)

Благодаря полученной связи между невязками, можно утверждать, что если выполняются условия лемм 6.3 или 6.4 по отношению к матрицам , , то для матриц , они тем более будут выполнены. Следовательно, к матрицам , , можно применить все рассуждения, проведенные выше для , . Таким образом, приходим к итерационному процессу

(6.34)

где – номер итерации; – задаваемая начальная матрица, близкая к в указанном выше смысле, а – параметр метода.

Теорема 6.13. Пусть квадратные матрицы и таковы, что матрица обратима и . Тогда существует обратная к матрица и к ней сходится последовательность матриц , определяемая итерационным процессом (6.34). При этом имеет место точное равенство

и справедливы оценки погрешности:

1) ;

2) .

Равенства (6.34) определяют фактически не один, а целое семейство итерационных методов обращения. Фиксированием параметра можно получать конкретные процессы -го порядка скорости сходимости. Этот порядок может быть сколь угодно большим, однако обычно ограничиваются процессами второго и третьего порядков. Приоритет процесса второго порядка связан с его простотой и более ранним появлением: первая публикация об этом методе относится к 1933 г. и принадлежит Г. Шульцу, в связи с чем и все семейство (6.34) естественно называть методом Шульца. Метод третьего порядка целесообразно использовать из тех соображений, что он, как показал М. Альтман, обладает свойством минимальности вычислительных затрат, требующихся для обращения матриц с заданной точностью методами семейства (6.34).

Процесс (6.34) построения приближений к обратной матрице легко видоизменить подобно тому, как это было сделано с методом простых итераций решения СЛАУ, когда для более оперативного учета получаемой на текущей итерации информации перешли от него к методу Зейделя (см. прарграф 6.3). Например, зейделева модификация метода Шульца второго порядка может быть определена равенствами

, (6.40)

где ; ; и – соответственно нижняя треугольная и строго верхняя треугольная матрицы. При реализации этой модификации нужно либо расписывать формулы (6.40) поэлементно (чтобы не работать с заведомо нулевыми элементами), либо формировать матрицу постепенным замещением старых элементов новыми, осуществляя на -й итерации цикл присвоений

где до начала цикла в правой части в двумерном массиве должна содержаться матрица , а в двумерном массиве матрица (заполнение массивов новыми элементами производится по строкам). Процесс (6.40) при том же шаговом объеме вычислений и такой же простоте, что и в методе Шульца второго порядка, может дать определенный выигрыш в скорости сходимости.

Вообще, проблема выбора начального приближения в рассматриваемых здесь процессах, итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующим с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору , обеспечивающие выполнение условия* , являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса (6.34). Однако при этом, во-первых, требуется знать оценку сверху спектра обращаемой матрицы либо матрицы (а именно, если, – симметричная положительно определенная и , то можно взять , где ; если же произвольная невырожденная матрица и , то полагают , где также ; можно, конечно, упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что , положить ). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что будет малой (возможно, даже окажется ), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.

Все сказанное выше не означает, что подобные методы обращения матриц (и операторов) не имеют своей сферы применения. В частности, ниже будет рассматриваться способ решения систем нелинейных уравнений, базирующиеся на методе Ньютона с приближенным обращением матриц Якоби по методу Шульца, а в также метод Шульца используется как составная часть квадратурно-итерационного метода вычисления резольвент линейных интегральных уравнений.