Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными.
Пусть дана система 
(1) 
Если обе части первого уравнения умножить на 
, а второго – на 
и уравнения почленно вычесть, то получим 
Аналогично, если первое уравнение умножить на 
и вычесть из него второе уравнение, умноженное на 
, то получим 
Если 
¹ 0, то х = 
у = 
. Выражения, стоящие в числителях и знаменателях полученных формул, имеют одинаковую структуру. Для их составления используется четыре числа. Если числа, используемые для знаменателя, записать в виде матрицы 
, то знаменатели получаются по правилу: из произведения элементов одной диагонали таблицы вычитается произведение элементов второй диагонали. Используя отмеченное правило, введём понятие определителя.
Для матрицы диагональ, на которой стоят элементы 
, называется главной диагональю, вторая диагональ называется побочной диагональю.
Определение 2. Определителем 2-го порядка (определителем матрицы ) называется число, равное разности произведения элементов главной диагонали и произведения элементов побочной диагонали.
Определитель матрицы обозначается 
.
Обозначим D = , D1 = 
, D2 = 
. Используя определение 2, получим, что система (1) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда D ¹ 0. Это решение можно найти по формулам х = 
, у = 
(2). Эти формулы называются формулами Крамера.
Пусть дана система трёх уравнений с тремя неизвестными:
(3)
Умножим первое уравнение на 
, второе уравнение – на 
, третье уравнение – на 
и почленно сложим. Получим х × 
=
= 
. Легко заметить, что коэффициент при х и правая часть составлены из девяти чисел по одному и тому же закону.
Пусть дана матрица А = 
.
Определение 3. Определителем матрицы А (определителем третьего порядка) называется число, равное D = 
(4).
Равенство (4) называется разложением определителя по элементам первого столбца. Итак, вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка. Если вычислить определители второго порядка, входящие в формулу (4), то получим, что 
(5).
Используя последнюю формулу, непосредственным вычислением можно получить:
1. Определитель не изменится, если в нём строки и столбцы поменять местами (эту операцию называют транспонированием определителя). Следовательно в определителе строки и столбцы равноправны..
2. D = 
.
Итак, определитель можно разлагать по любому столбцу. Можно заметить, что знак перед множителем 
равен 
. Так как в определителе строки и столбцы равноправны, то аналогичные разложения имеют место и по любой строке определителя (запишите их самостоятельно).
3. Если в определителе одна из строк (или столбцов) целиком состоит из нулей, то определитель равен нулю.
4. Системы (3) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда D ¹ 0. Это решение можно найти по формулам: х = , у = , 
(6),
где D1, D2, D3 получаются из определителя D заменой первого, второго, третьего столбца соответственно столбцом свободных членов. Формулы (6) тоже называются формулами Крамера.
