Работа перемещения проводника с током в магнитном поле

 

Рассмотрим проводник длинной l с током I, находящийся в одно-родном внешнем магнитном поле. Поле направлено перпендикулярно

 

плоскости рисунка «от нас» (рис. 2.3.1). Проводник не закреплен и под действием силы Ампера будет свободно перемещаться из поло-жения 1 в положение 2 параллельно самому себе на отрезок dx. Эле-ментарная работа, совершаемая магнитным полем равна:

 

dA = Fdx = IBldx = IBdS = Id Φ m,

(2.3.1)

 

где ldx = dS − площадь, пересекаемая проводником при его перемеще-нии в магнитном поле; Bds = d Ф _m − поток вектора магнитной индук-ции, пронизывающий эту площадь.

 

_B

 

dS 1 2

 

F _A l

 

I

 

 

dx

 

Рис. 2.3.1

 

Если сила тока I в проводнике постоянна, то после интегрирова-ния (2.3.1) имеем:

 

A = I Ф т.

(2.3.2)

Работа, совершаемая силами Ампера при перемещении в магнит-ном поле проводника с постоянным током, равна произведению силы тока на величину магнитного потока сквозь поверхность, которую пересекает проводник при своем движении.

 

Определим величину работы сил Ампера при перемещении замкну-того контура ABCD в магнитном поле с постоянным током I (рис. 2.3.2). Поле направлено перпендикулярно плоскости рисунка − за чертеж. Предположим, что контур ABCD перемещается в плоскости чертежа и в результате бесконечно малого перемещения займет положение A′B′C′D′. Контур ABCD разобьем на два соединенных своими концами проводни-ка ABC и CDA. Работа, совершаемая силами Ампера при рассматривае-мом перемещении контура в магнитном поле равна алгебраической сумме работ по перемещению проводников ABC и CDA

 

dA = dA 1+ dA 2.

(2.3.3)

 

dF 1	C		С ′
dx 1		I
dl 1	D
B
B ′	dl 2	dx	D ′
	B
I		dF 2
	A		A ′
	Рис. 2.3.2

При перемещении проводника CDA силы Ампера направлены в сторону перемещения и образуют с направлением перемещения ост-рые углы, поэтому совершаемая ими работа dA ₂ > 0. Эта работа равна произведению силы тока в контуре на пересеченный проводником CDA при своем движении поток d Ф _{m 2},следовательно

 

dA 2= Id Φ m 2.

(2.3.4)

 

Силы, действующие на проводник ABC контура, направлены про-тив перемещения и образуют с направлением перемещения тупые уг-лы, поэтому dA ₁ < 0. Проводник ABC пересекает при своем движении поток d Ф _{m 1}, следовательно

 

dA 1=− Id Φ m 1.	(2.3.5)
Подставив (2.3.4) и (2.3.5) в (2.3.3), получим:
dA = dA 1+ dA 2= – Id Ф m 1+ Id Ф m 2= I (d Ф m 2– d Ф m 1).	(2.3.6)

Так как d Ф _{m 2} – d Ф _{m 1} = d Ф _т – изменение магнитного потока, про-низывающего поверхность, ограниченную контуром, при его переме-щении из положения ABCD в положение A′B′C′D′, то выражение для элементарной работы dA равно:

 

dA = Id Ф т,	(2.3.6)
или после интегрирования
A = I Ф т.	(2.3.7)

Таким образом, работа, совершаемая силами Ампера при пере-мещении в магнитном поле замкнутого контура с постоянным то-ком, равна произведению силы тока на изменение магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную контуром.

 

Пусть вектор B магнитной индукции направлен перпендикуляр-но плоскости чертежа «от нас». В этом случае сила Ампера dF ₂, дей-

 

2.4. Сила Лоренца. Масс-спектрометрия.

ствующая на элемент dl ₂ проводника DNA, образует острый угол с на-правлением его перемещения dx ₂ и совершает положительную рабо-

 

ту. В то же время сила dF ₁, действующая на элемент dl ₁ проводника AMD,образует с направлением его перемещения dx ₁тупой угол и со-

 

вершает отрицательную работу, т. е. dA ₁ < 0, dA ₂ > 0. Поэтому полная работа равна (см. формулу (2.3.3)):

dA = dA 1+ dA 2= – Id Ф m 1+ Id Ф m 2= I (d Ф m 2– d Ф m 1),

(2.3.8)

где d Ф _{m 1} – магнитный поток сквозь поверхность AMDD ′ M ′ A ′; d Ф _{m 2} – магнитный поток сквозь поверхность ANDD ′ N ′ A ′.

Из рис. 2.3.2 видно, что
d Ф m 2– d Ф m 1= d Ф т,	(2.3.9)

где d Ф _т – изменение магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром, при перемещении его из положения C в поло-жение C′. Окончательное выражение для элементарной работы dA равно:

dA = Id Ф т.	(2.3.10)
Интегрируя последнее равенство, получим:
A = I Ф т.	(2.3.11)

 

Таким образом, работа, совершаемая силами Ампера при пере-мещении в магнитном поле замкнутого контура с постоянным то-ком, равна произведению силы тока на изменение магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную контуром.

 

Сила, действующая на движущуюся со скоростью υ заряженную частицу q со стороны магнитного поля индукцией В, называется си-

 

лой Лоренца.
F	= q	(2.4.1)
υ× B.
Л
Модуль силы Лоренца равен
F Л= q υ B sinα,	(2.4.2)

 

где α − угол между векторами υ и B.

 

Из соотношения (2.4.1) следует, что сила Лоренца всегда направ-лена перпендикулярно к направлению вектора скорости заряженной частицы и поэтому играет роль центробежной силы, которая не со-вершает работы. Эта сила только изменяет направление скорости

 

движения частицы в магнитном поле. Абсолютная величина скорости частицы и его кинетическая энергия при движении в магнитном поле

не изменяются.

Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки:

 

если сложенные вместе пальцы направить по движению положи-тельно заряженной частицы, а ладонь расположить так, чтобы ли-нии магнитной индукции входили в ладонь, то отогнутый на 90^о большой палец покажет направление силы Лоренца, действующей со стороны магнитного поля. При движении отрицательно заряженнойчастицы эта сила направлена в противоположную сторону.

В общем случае на движущуюся заряженную частицу действуют

электрическое поле напряженностью E и магнитное поле индукцией
B. Результирующая сила F,действующая на частицу,	равна сумме
силы Fe = qE и силы Лоренца F Л:
F Л= qE + q υ× B.	(2.4.3)

Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости движения заря-женной частицы. Поэтому она изменяет только направление скорости, не изменяя ее модуля, и, следовательно, она не совершает работы. Так как магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заря-женной частицей, то кинетическая энергия этой частицы при движе-нии в магнитном поле не изменяется.

 

Если магнитное поле однородно (B = const) и на частицы не дей-ствует электрическое поле (или его действием можно пренебречь), то возможны три случая движения заряженных частиц в этом поле.

 

1. Заряженная частица движется в магнитном поле вдоль линий магнитной индукции (α = 0 или α = π). Сила Лоренца F _Л равна нулю. Магнитное поле на частицу не действует, и она движется равномерно

 

и прямолинейно.

 

2. Заряженная частица движется в магнитном поле перпендику-лярно линиям магнитной индукции (угол α = π/2). Сила Лоренца F = qB υпостоянна по модулю и нормальна к траектории частицы.Частица будет двигаться по окружности с нормальным ускорением a_n =υ²/ R (рис. 2.4.1).Из второго закона Ньютона выразим радиус та-кой окружности:

qB υ=	m υ2	⇒ R =	m υ
		.	(2.4.4)
R	qB

 

Период вращения частицы будет равен:

 

T =	2 π R	=	2π m
υ	qB .	(2.4.5)

 

q > 0

 

υ

 

B q < 0

 

Рис. 2.4.1

 

3.Заряженная частица движется под углом к линиям магнитной индукции. Движение частицы можно представить в виде суммы двух движений: а) равномерного прямолинейного движения вдоль поля со скоростью ^υ; б) равномерного движения по окружности в плоскости, перпендикулярной полю υ_⊥.

 

Суммарное движение будет движением по винтовой траектории, ось которой параллельна магнитному полю (рис. 2.4.2).

 

 

В

 

q+	υ||
	υ
F
υ⊥
Л		ап
O	R

 

h

 

 

Рис. 2.4.2
Из рисунка видно, что
υ|| = υ cosα, υ⊥ = υsin α.	(2.4.6)

 

Радиус винтовой линии равен:

 

R = ^m_qB ^υ⊥= ^{m υ} _qB ^sinα.

Период вращение частицы

_{T =} 2π R ₌ 2π m _.

υ_⊥ qB

 

 

(2.4.7)

 

 

(2.4.8)

 

Шаг винтовой линии (расстояние, которое проходит частица вдоль оси винтовой линии за время равное периоду вращения)

h =υ T =υ T cosα=	2π m υcosα .	(2.4.9)
	qB

Если магнитное поле неоднородно и заряженная частица движет-ся под углом к линиям магнитного поля в направлении возрастания поля, то радиус и шаг спирали уменьшаются с ростом индукции маг-нитного поля. На этом основана фокусировка пучка заряженных час-тиц магнитным полем.

 

Закономерности движения заряженных частиц в магнитных и электрических полях легли в основу масс-спектрометрии, метода оп-ределения массы ионов. На рис. 2.4.3 представлен масс-спектрограф Бейнбриджа.

 

(q/m)₁ (q / m)₂

 

Ф

 

Рис. 2.4.3

 

В нем пучок ионов проходит сначала через так называемый селек-тор (или фильтр) скоростей, который выделяет из пучка ионы с опреде-ленным значением скорости. В селекторе ионы подвергаются одновре-менному воздействию взаимно перпендикулярных электрического и магнитного полей, отклоняющих ионы в противоположные стороны. Через выходную щель селектора проходят только те ионы, для которых действия электрического и магнитного полей компенсируют друг друга.

 

Это происходит при условии, что qЕ = q υ B. Следовательно, скорости вышедших из селектора ионов, независимо от их массы и заряда, имеют одинаковое значение, равное υ = Е/В. Выйдя из селектора, ионы попа-дают в область перпендикулярного к их скорости однородного магнит-ного поля с индукцией В₁. В этом поле они движутся по окружностям, радиусы которых зависят от q/т, согласно формуле (2.4.10)

	m υ
R =		.	(2.4.10)
qB

Описав половину окружности, ионы попадают на фотопластинку на расстояниях от щели, равных 2 R. Следовательно, ионы каждого сорта (определяемого значением q/т) оставляют на пластинке след в виде уз-кой полоски. Зная параметры прибора, можно вычислить удельные за-ряды ионов. Поскольку заряды ионов являются целыми кратными эле-ментарного заряда е, то по найденным значениям q/т можно определить массы ионов. В настоящее время имеется много типов усовершенство-ванных масс-спектрографов. Созданы также приборы, в которых ионы регистрируются с помощью электрического устройства, а не фотопла-стинки. Они получили название масс-спектрометров.

 

Эффект Холла.

 

Американский физик Э. Холл обнаружил, что в пластинке металла (или в полупроводника) с током I, помещенной в магнитное поле B, возникает электрическое поле в направлении, перпендикулярном на-правлению тока и вектору B, т. е. на противоположных гранях пла-стинки между точками А и С (рис. 2.5.1) возникает разность потен-циалов. Возникновение разности потенциалов Δϕ = ϕ _А – ϕ _С в этом случае носит название эффекта Холла.

 

B	A	F Л
M

I

 

C	Fe	b

 

Рис. 2.5.1

 

Рассмотрим металлическую пластину толщиной b, по которой проходит ток I, помещенную в магнитное поле так, чтобы ее горизон-тальные грани были параллельны плоскости, образованной векторами плотности тока j и вектором магнитной индукции B. В отсутствие

 

магнитного поля разность потенциалов между точками A и С равна нулю (ϕ _A = ϕ _C), поскольку точки А и С лежат на эквипотенциальной поверхности, перпендикулярной вектору E. При наличии магнитного поля возникает разность потенциалов Δϕ = ϕ _А – ϕ _С.

Δϕ H = RbjB,

(2.5.1)

 

где R − постоянная Холла.

 

Классическая электронная теория позволяет достаточно просто объяснить возникновение холловской разности потенциалов Δϕ _H. Пусть сила тока I обусловлена упорядоченным движением свободных носителей заряда q, концентрация которых п, средняя скорость дрейфа u. Тогда плотность тока

 

j = qnu.

(2.5.2)

 

При включении магнитного поля на каждый заряд q, движущийся со скоростью u, будет действовать сила Лоренца

 

F Л= quB,

(2.5.3)

 

которая вызовет отклонение положительных зарядов (q > 0) к одной грани пластинки, а отрицательных зарядов (q < 0) − к другой. В ре-зультате у верхней грани образуется избыточный положительный за-ряд, а у нижней грани − отрицательный. Появятся поперечное элек-трическое поле Е* и соответствующая ему электрическая сила:

 

F эл = qE*= q	ϕ	.	(2.5.4)
	b

Когда напряженность этого поперечного поля достигнет такой ве-личины, что его действие на заряды будет уравновешивать силу Ло-ренца, установится стационарное распределение зарядов в попереч-ном направлении. Тогда

 

F Э= F Л⇒ q	Δϕ H	= qBu ⇒ Δϕ H = Bub ⇒ Δϕ H =		Bbj	(2.5.5)
qn
	b

 

Сравнивая (2.5.1) и (2.5.2) получаем, что постоянная Холла равна:

 

R =		.	(2.5.6)
	qn

 

Поскольку концентрация п − положительная величина, знак по-стоянной R определяется знаком заряда q свободных носителей заряда в материале пластинки. Если постоянную Холла измерить на опыте, то по формуле (2.5.6) можно рассчитать концентрацию носителей за-

 

ряда. Когда электропроводность материала определяется зарядами обоих знаков, то по знаку постоянной Холла можно судить о том, ка-кие заряды вносят преобладающий вклад в удельную электрическую проводимость у исследуемого проводника. Для полупроводников знак постоянной Холла определяет тип проводимости (R < 0 − электрон-

 

ная, R > 0 − дырочная).

 

Определение значения постоянной Холла для электронных про-водников по з воляет определить среднюю длину свободного пробега электронов λ. Эффект Холла также широко используется для измере-ния индукции В магнитных полей.