Закон полного тока (1.5.10) часто используют для расчета индук-ции магнитного поля постоянного электрического тока. Для примера рассмотрим применение закона полного тока для расчета индукции магнитного поля соленоида и тороида.
Соленоид –это катушка индуктивности в виде намотанного на ци-линдрическую поверхность изолированного проводника, по которому течет электрический ток. Рассмотрим соленоид длиной l, имеющей N витков. Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, то есть рассматриваемый соленоид бесконечно длинный. Внутри соленоида поле является однородным, вне соленоида – неоднородным и очень слабым, и чем длиннее соленоид, тем меньше магнитная индукция вне его. Поэтому будем считать, что поле бесконечно длинного соле-ноида сосредоточено целиком внутри него.
Для нахождения магнитной индукции выберем замкнутый пря-моугольный контур ABCDA (рис. 1.6.1) Согласно теореме о цирку-
ляции вектора H:
∫ Hl dl = NI. | (1.6.1) |
ABCDA
D A
C B
Рис. 1.6.1
Интеграл по ABCDA можно представить в виде интегралов по AB; BC; CD; DA. На участках AB и CD контур перпендикулярен линияммагнитной индукции и Hl = 0. На участке CB вне соленоида Н = 0, а на участке DA контур совпадает с линией магнитной индукции и циркуляция вектора H равна
∫ Hl dl = Hl = NI. | (1.6.2) |
DA |
Из последнего уравнения получаем, что напряженность магнит-ного поля соленоида:
NI | (1.6.3) | ||
H = | l = nI, | ||
где n – число витков соленоида, приходящихся на единицу длины. Используя формулу (1.1.1), выражаем индукцию магнитного поля
соленоида:
B =μμ0 | N | I =μμ0 nI. | (1.6.4) | |
l | ||||
Тороид –это кольцевая катушка с витками,намотанными на сер-дечник, имеющий форму тора, по которому течет электрический ток.
Пусть R 1 и R 2 соответственно внешний и внутренний радиусы се-чения тороида. Общее число витков тороида с током I равно N.
Если r < R 2, то контур не охватывает проводники | с током, |
N | |
∑ Ik = 0, и по закону полного тока | |
i =1 | |
∫ Hdl cosα=2π rH =0⇒ H =0. | (1.6.5) |
L |
Если r > R 1, то контур охватывает 2 N проводников с током I. По-ловина из них идет в одном направлении, а половина – в обратном на-правлении (рис. 1.6.2). Поэтому алгебраическая сумма токов во всех проводниках равна нулю, и поэтому
2 π rH = 0 ⇒ H = 0. | (1.6.6) |
r
R 2
Рис. 1.6.2
R 1
Из полученного результата следует, что вне тороида магнитное поле отсутствует. Магнитное поле сосредоточено внутри объема (R 2 ≤ r ≤ R 1) тороида. Линии магнитной индукции в данном случае есть окружно-сти, центры которых расположены на оси тороида. В этом случае кон-тур радиуса r охватывает N проводников, токи в которых равны I и одинаково направлены. Поэтому по теореме о циркуляции
∫ Hl dl = Hl =2π rH = NI. | (1.6.7) | |||||
L | ||||||
Отсюда напряженность магнитного поля внутри тороида: | ||||||
NI | (1.6.8) | |||||
H = | 2 π r = nI, | |||||
где n – число витков тороида, приходящихся на единицу длины. Напряженность магнитного поля на осевой линии тороида равна:
H ср = | NI | . | (1.6.9) | |
2π r | ||||
ср |
Используя формулу (1.1.1), находим индукцию магнитного поля внутри тороида:
B =μμ0 | NI | = μμ0 nI. | (1.6.10) | |
2π r | ||||
Индукция магнитного поля на осевой линии тороида равна:
B =μμ | NI | =μμ | nI. | (1.6.11) | ||
0 2π r | ||||||
cp | ||||||
cp |