Циркуляцией вектора магнитной индукции по заданному замкну-тому контуру называется интеграл по этому контуру:
| ∫ Bdl = ∫ Bl dl, | (1.5.1) | |
| L | L | |
где dl – вектор элементарной длины контура, направленной вдоль об-
хода контура; Bl = B cosα – составляющая вектора B в направлении касательной к контуру, с учетом выбранного направления обхода;
α − угол между векторами B и dl.
| dl | А | R | |
| β | dl 1′ | ||
| B | α | ||
| d α | |||
| I | |||
L
Рис. 1.5.1
Для магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника с током силой I, находящегося в вакууме, рассчитаем циркуляцию век-тора магнитной индукции вдоль некоторого замкнутого контура L, ох-
ватывающего проводник с током, т. е. вычислим интеграл ∫ Bl dl. Для
L
этого мысленно разобьем контур L на элементы длиной dl (рис. 1.5.1). При вычислении циркуляции нужно учитывать направление (знак) силы тока по отношению к выбранному направлению обхода контура. Правило знаков для токов:сила тока считается положительной,еслинаправление тока и направление обхода контура удовлетворяют пра-вилу правого винта (буравчика), ток противоположного направления считается отрицательным.
С учетом выражения (1.3.5) для магнитной индукции прямолиней-ного тока в вакууме определим циркуляцию вектора B по контуру L:
| ∫ | =∫ Bdl cosβ= ∫μ0 | I | ||||
| Bdl | dl cosβ. | |||||
| 2π R | ||||||
| L | L | L | ||||
(1.5.2)
Из рисунка видно, что:
dl = dl *= Rd α.cosβ cosβ
Подставим выражение (1.5.3) в (1.5.2):
| ∫ | = ∫ μ 0 | I | dl cosβ=∫μ0 | I | Rd α | ||||
| Bdl | cosβ = | ||||||||
| 2π R | |||||||||
| L | L | L | 2π R cosβ |
μ20π I 2∫0π d α=μ0 I.
(1.5.3)
(1.5.4)
Далее рассмотрим случай, когда замкнутый контур L не охваты-вает проводник с током, т. е. такой ток не пронизывает поверхность этого контура (рис. 1.5.2). При вычислении циркуляции интеграл по L
| разделим на два интеграла: | ||||||||
| ∫ Bdl =∫ | Bdl | + ∫ | Bdl. | (1.5.5) | ||||
| L | 1а2 | 1b2 | ||||||
| L | ||||||||
| 2 | dl | |||||||
| B | ||||||||
b
α2
α1 α
Рис. 1.5.2
При интегрировании на участке 1а2 угол α изменяется от α1 до α2, на участке 1b2 угол α изменяется от α2 до α1. В результате с уче-том предыдущего получаем:
| μ 0 I | α 2 | μ 0 I | α1 | |||||||
| ∫ | = | ∫ | d α+ | ∫ d α = 0. | (1.5.6) | |||||
| Bdl | ||||||||||
| L | 2π | α | 2π | α | ||||||
Таким образом, рассмотрев два случая, можно сделать следую-щий вывод:
| ∫ | μ0 I − контурохватываетпроводник стоком | (1.5.7) | ||
| Bdl = | − контур неохватываетпроводник с током | |||
| L | 0 |
Это утверждение справедливо для магнитных полей, созданных проводниками с током любой формы и размеров, т. е. формула универ-сальна. Поэтому, если поле создается системой произвольных по форме проводников с токами силой Ii (i = 1, 2,..., n), то с помощью формулы (1.5.7) и принципа суперпозиции магнитных полей (1.1.2) можно рас-считать циркуляцию напряженности B результирующего поля
| n | n | k | ||||||
| ∫ Bdl | = ∫ ∑ Bi dl | = ∑ ∫ Bi dl | = μ0 ∑ Ii, | (1.5.8) | ||||
| L | L i =1 | i =1 L | i =1 |
где k ≤ n.
В результате преобразований мы получили теорему о циркуля-ции вектора B в вакууме в интегральной форме(или иначе закон полного тока для магнитного поля в вакууме): циркуляция векторамагнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной μ0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром
| k | |||
| ∫ Bdl | = μ0 ∑ Ii, | (1.5.9) | |
| L | i =1 |
где k – число проводников с токами, охватываемое контуром L произ-вольной формы.
Эта теорема справедлива только для поля в вакууме. Из получен-ного результата следует, что магнитное поле непотенциально, оно вихревое.
Так как магнитная индукция в вакууме связана с напряженностью магнитного поля соотношением B = μ0 H, то можно получить теорему о циркуляции напряженности в интегральной форме
| k | ||
| ∫ Hdl | = ∑ Ii. | (1.5.10) |
| L | i =1 | |
| Между циркуляцией вектора магнитной индукции B | и циркуля- |
цией вектора напряженности электрического поля E существует сле-дующее различие:
1) циркуляция вектора E электростатического поля всегда равна нулю, то есть поле является потенциальным;
2) циркуляция вектора B магнитного поля не равна нулю, то есть такое поле является вихревым.
Получим теорему о циркуляции магнитной индукции в вакууме в дифференциальной форме. Если контур L находится в сплошной про-водящей среде, то значение полного тока, пронизывающего поверх-ность контура, можно определить, как поток вектора плотности тока через поверхность S, ограниченную этим контуром
| k | ∫ jn dS. | |||||||
| ∑ I i = | (1.5.11) | |||||||
| i =1 | S | |||||||
| Подставим выражение (1.5.11) в формулу (1.5.9) и применим тео- | ||||||||
| рему Стокса (∫ Adl | = ∫(rotA) n | dS). | ||||||
| L | S | (1.5.12) | ||||||
| ∫ Bdl | = μ 0 ∫ jn dS ⇒ ∫ (rot B) n dS = μ 0 | ∫ jn dS ⇒rot B =μ0 | j. | |||||
| L | S | S | S | |||||
| Результат подстановки – теорема о циркуляции вектора магнит- | ||||||||
| ной индукции в вакууме в дифференциальной форме | ||||||||
| rot B = μ0 j. | (1.5.13) | |||||||
| Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля в | ||||||||
| дифференциальной форме будет иметь вид: | ||||||||
| rot H = j. | (1.5.14) |
Уравнение (1.5.14) математически выражает тот факт, что маг-нитное поле имеет вихревой характер и его источниками являются электрические токи.
