Первое начало термодинамики при изохорическом, изо-барическом и изотермическом процессах

 

Изохорический процесс		p	2	Нагревание
Если газ нагревается или охлаж-
дается при	постоянном	объеме
(рис.12.3.1), то dV = 0 и работа внешних	1	Охлаждение
сил равна нулю
					3
δ A = pdV	⇒ A 12=∫δ A =0. (12.3.1)	V
						Рис. 12.3.1
Сообщаемая газу	извне	теплота
пойдет только на увеличение его внутренней энергии, т. е.
	δ Q = dU + δ A ⇒ δ Q = dU.	(12.3.2)
С учетом выражения (12.2.5)
δ Q = dU ⇒	C M ν dT = dU или	dU =ν CM dT. (12.3.3)
		V				V
Изменение внутренней энергии газа определятся соотношением
			T
		U =∫2	CVM ν dT.		(12.3.4)
			T 1
Если CM	= const (что справедливо для идеального газа), то со-
V
отношение (12.3.4) можно записать в виде
		T
	U =ν CVM ∫2	dT = CVM ν(T 2− T 1).	(12.3.5)
		T 1

Получим выражения для молярной и удельной теплоемкостей идеального газа при постоянном объеме. Для идеального газа измене-ние внутренней энергии определяется соотношением

 

dU =	i	ν RdT.	(12.3.6)

Подставим выражение (12.3.6) в (12.3.3) и выразим C_V^M

 

i	ν RdT =ν CM dT	⇒ CM =	i	ν RdT	=	i	R.	(12.3.7)
	V	V		ν dT

 

Удельная теплоемкость соответственно равна

 

	c	уд		СM	i R
		=	V =					.	(12.3.8)
	V		M	2 M
Изобарический процесс
Работа, совершаемая	газом	при изобарическом	процессе
(рис. 12.3.2), равна
V	V
A 12=∫2	pdV = p ∫2	dV = p (V 2− V 1)= pV 2− pV 1=
V 1		V 1
	=ν RT 2 − ν RT 1 =ν R (T 2 − T 1).	(12.3.9)
Сообщаемая газу извне теплота, согласно выражению (12.2.6),
равна
		δ Q = C pM ν dT.		(12.3.10)
Первое начало термодинамики запишем в следующем в виде
δ Q = dU + δ A	⇒ C pM ν dT = dU + pdV.	(12.3.11)

 

	p		Нагревание
p 1	= p 2	1			2
				A 12
		Рис V. 112.3.2	V 2 V

Продифференцировав уравнение Менделеева − Клапейрона при условии, что p = const, получим

 

pdV =ν RdT.

(12.3.12)

 

Подставим выражение (12.3.12) в (12.3.11)

 

C _p^M ν dT =₂ ⁱ ν RdT +ν RdT. (12.3.13)

Молярная теплоемкость идеально-го газа при постоянном давлении равна

C pM =	i ν RdT +2ν RdT		= i +2 R.	(12.3.14)
			2ν dT
А удельная теплоемкость равна
	уд		СpM		i +2	R
cp	=		=				.	(12.3.15)
M			M

 

Из уравнений (12.3.7) и (12.3.15) можно получить формулу Майера

C M = i +2 R =	i	R + R = CM + R.	(12.3.16)
p			V

 

Изотермический процесс

Работа,

совершаемая

газом

при

изотермическом

процессе

V 2

(рис. 12.3.3),

равна

A 12 = ∫

pdV.

Выразим давление из

уравнения

V 1

Менделеева − Клапейрона (p = ν RT V) и подставим

V 2

dV

V 2

dV

V

A 12=∫ν RT

V

=ν RT ∫

V

=ν RT ln

.

(12.3.17)

V

V

V

Эту формулу можно преобра-

p

зовать и к иному виду, если учесть,

Изотермическое

что при изотермическом

процессе

p 1

1

расширение

выполняется закон Бойля − Мариотта

p 1 V 1= p 2 V 2,откуда V 2

=

p 1

. Тогда

V

p

A

=ν RT ln

p 1

.

(12.3.18)

2

p 2

p 2

A 12= Q 12

Так как для идеального газа при T =

= const (dU = 0), то первое начало

V 1

V 2

V

термодинамики можно записать

в

Рис. 12.3.3

следующем виде

δ Q = δ A ⇒ Q

= A

=ν RT ln V 2 =ν RT ln

p 1

.

(12.3.19)

V 1

p 2

12.4. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона

p

Адиабатическим

н азывается

Адиабата

процесс, протекающий без тепло-

обмена с окружающей средой. Оп-

ределим

уравнение, связывающее

p 1

1

параметры

идеального

газа

при

адиабатическом процессе. Так как

p 2

2

по условию δ Q = 0, то первое нача-

ло термодинамики можно записать

A 12

в следующем виде

V 1

V 2

V 0 =δ А + dU

⇒ δ A = − dU. (12.4.1)

Рис. 12.4.1

Работа

газа при

адиабатиче-

ском процессе происходит за счет убыли внутренней энергии.

 

Учитывая, что dU =

i

URdT =ν C M dT,аδ A = pdV,получим

V

pdV = −ν C M dT.

(12.4.2)

V

Выразим давление из уравнения

Менделеева − Клапейрона

p =

ν RT

и подставим в (12.4.1)

V

−ν C M dT =ν RT dV

⇒

− C M dT = RT dV.

(12.4.3)

V

V

V

V

Приведем полученное выражение (12.4.3) к виду

dT = −

R

dV .

(12.4.4)

CM

T

V

V

Проинтегрируем выражение (12.4.4) в пределах от Т 1 до T 2, и от V 1 до V 2:

T 2 dT

R V 2 dV

T

R

V

∫

∫ V

T

= −

⇒

ln

T

= −

ln

.

(12.4.5)

CM

CM

V

T

V

V

V

R

C pM − CVM

CpM

CpМ

i +2

R

= i +2

=

=

− 1 = γ −1 ⇒

γ =

=

, (12.4.6)

CVM

CVM

CVM

CVМ

i

i

2 R

где γ − адиабатическая постоянная.

Выражение (12.4.5) можно переписать в виде

ln T 2 = − (γ −1)ln V 2

γ−1

⇒ ln T 2 = ln V 1

⇒

T 1

V 1

T 1

V 2

T 2 =

V 1

γ−1

⇒ T V γ−1

= TV γ−1

(12.4.7)

T 1

2 2

V 2

или

TV γ−1= const.

(12.4.8)

Перейдем от этого уравнения к уравнению в переменных p, V. Для этого выразим из уравнения Менделеева − Клапейрона темпера-

 

туру: T = _ν ^pV_R и подставим в уравнение (12.4.8)

 

pV	V γ−1	= const ⇒	pV γ	= const.
	ν R
ν R

Учитывая, что ν и R − постоянные величины, получим pV ^γ= const.

 

(12.4.9)

 

(12.4.10)

 

Выражение (12.4.10) получило название уравнение Пуассона. Теперь перейдем к уравнению в переменных p, T. Из уравнения

 

Менделеева − Клапейрона выразим объем V = ^{ν RT} _p. Тогда подставив в уравнение (12.4.10) получим:

 

	ν RT		γ	(12.4.11)
p		= const.
	p

 

Так как ν и R − постоянные, получим

 

			γ	(12.4.12)
p T		= const или p 1−γ T γ = const.
	p

Определим работу, совершаемую газом при адиабатическом процессе. Так как при адиабатическом процессе δ A = − dU, и учитывая, что dU = ν C_V^М dT, получим

δ A = −ν C

М dT.

(12.4.13)

V

Проинтегрировав полученное выражение от T 1 до T 2, получим:

T

T

m

A 12=∫2−ν CVМ dT = −ν CVМ ∫2

dT =ν CVМ (T 1− T 2)=

CVМ (T 1− T 2). (12.4.14)

M

T 1

T 1

Формулу (12.4.14) можно преобразовать следующим образом

C М

=

R

, а TV γ−1

= T V γ−1.

γ −1

V

1 1

Отсюда

T =

TV γ−1

.

(12.4.15)

1 1

V γ−1

Подставим (12.4.15) в выражение (12.4.14), и получим

RT 1

V 1

γ−1

p 1 V 1

V 1

γ−1

A =ν

или

A =

,

(12.4.16)

γ −1

V

γ −1

V

 

учитывая, что ν RT ₁ = p ₁ V ₁.

 

Политропические процессы

 

Рассмотренные изохорный, изобарный, изотермический и адиа-батический процессы происходят при постоянной теплоемкости. Про-цесс, при котором теплоемкость тела остается постоянной называется политропическим. Таким образом,условие,которое выполняется входе политропического процесса, заключается в том, что

C = const.

(12.5.1)

 

Найдем уравнение политропы для идеального газа. Для этого запишем уравнение первого начала термодинамики для идеального газа в виде

ν CdT =ν C М dT + pdV.	(12.5.2)
V

В полученное уравнение входят все три параметра: p, V и T. Ис-ключим параметр Т, и получим уравнение политропы в переменных p, V. Для этого продифференцируем соотношение pV =ν RT:

	d (pV) =ν RdT ⇒ pdV + Vdp =ν RdT.	(12.5.3)
Выразим из уравнения (12.5.3) dT и подставим в уравнение (12.5.2)
		( C − CVM ) pdV + Vdp	= pdV.	(12.5.4)
		R
		(C − CVM − R) pdV + (C − CVM) Vdp = 0.	(12.5.5)
Заменив в данном уравнении	C M	+ R через CM и разделив на
			V	p
pV,придем к дифференциальному уравнению вида:
		(C − C pM) dV + (C − CVM) dp = 0.	(12.5.6)
		V		p
Интегрирование уравнения (12.5.6) приводит к соотношению
		(C − C pM)ln V + (C − CVM)ln p = const.	(12.5.7)
Разделив данное соотношение на (C − CVM) (что возможно, если
C ≠ CM),