Для того чтобы рассмотреть интерференцию волн, введем поня-тие когерентности. Согласованное протекание во времени и про-странстве нескольких колебательных или волновых процессов связано с понятием когерентности. Волны называются когерентными, если разность их фаз остается постоянной во времени. При наложении в пространстве двух или нескольких когерентных волн в разных его точках получается усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Это явление называется интерференцией волн, и заключается в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других ослабляют друг друга.
Рассмотрим наложение двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными источниками S 1 и S 2, колеблющимися с одинаковыми амплитудой, частотой, нулевой начальной фазой и по-стоянной разностью фаз. Запишем уравнения колебаний:
| S = | A 0 | cos(ω t − kr)= | A 0 | cos ϕ, S | = | A 0 | cos(ω t − kr | )= | A 0 | cos ϕ | , (6.7.1) | |||
| r 1 | r 1 | r 2 | r 2 | |||||||||||
где r 1 и r 2 − расстояния от источников волн до рассматриваемой точки.
Амплитуда результирующей волны равна (сложение одинаково направленных колебаний)
| A 2= | A 02 | + | A 02 | + | 2 A 0 2 | cos(ϕ −ϕ | ) = | A 02 | + | A 02 | + 2 A 0 2 | cos | 2π (r | − r | ) | . (6.7.2) | |||||||||||
| r | r | rr | r | r | rr | λ | |||||||||||||||||||||
| 1 2 | 1 2 | ||||||||||||||||||||||||||
| Так как разность начальных фаз | ( | ϕ − ϕ | ) = 2π (r | − r)= | 2 π | = const, | |||||||||||||||||||||
| λ | λ |
то результат наложения двух волн в различных точках зависит от ве-
| личины | = r 2 − r 1, называемой разностью хода волн. | 2 π | ||||||||||||||||||
| В | точках, | где | выполняется | условие | =1 ⇒ | |||||||||||||||
| cos | λ | |||||||||||||||||||
| 2π | ||||||||||||||||||||
| = ± 2 m π ⇒ | = ± m λ (m = 0, 1, 2, … − порядок максимума) | |||||||||||||||||||
| λ | ||||||||||||||||||||
| A 2 | A 2 | 2 A 2 | A A | |||||||||||||||||
| A | = | + | + | ⇒ A = | + | . | (6.7.3) | |||||||||||||
| r 2 | ||||||||||||||||||||
| r 2 | r r | r | r | |||||||||||||||||
| 1 2 |
Так как квадрат амплитуды колебаний пропорционален интен-сивности волны, то получаем
| I =(I 1+ I 2+2 I 1 I 2)>(I 1+ I 2). | (6.7.4) |
То есть наблюдается усиление интенсивности (увеличение ам-плитуду) результирующей волны или интерференционный максимум.
| 2) В точках, | где | выполняется | условие | 2 π | = −1 ⇒ | |||||||||||||||
| cos | λ | |||||||||||||||||||
| 2π | 1 | λ (m = 1, 2, …) | ||||||||||||||||||
| λ | = ± (π+ 2 m π) ⇒ = ± m + | |||||||||||||||||||
| A 2 | A 2 | 2 A 2 | A A | |||||||||||||||||
| A | = | + | − | ⇒ A = | − | . | (6.7.5) | |||||||||||||
| r 2 | r 2 | |||||||||||||||||||
| r r | r | r | ||||||||||||||||||
| 1 2 | ||||||||||||||||||||
| I =(I 1+ I 2−2 | I 1 I 2)<(I 1+ I 2) | (6.7.6) |
То есть наблюдается ослабление интенсивности (уменьшение ам-плитуды) результирующей волны или интерференционный минимум.
Таким образом, в результате наложения двух когерентных волн в среде возникают колебания, амплитуда которых различна в разных
точках среды, при этом в каждой точке среды получается или макси-мум амплитуды, или минимум амплитуды, или ее промежуточное значение − в зависимости от значения разности расстояний точки до когерентных источников. Интерференция света приводит к перерас-пределению энергии волны между соседними областями, хотя в сред-нем для больших областей энергия остается неизменной.
Стоячие волны
Рассмотрим интерференцию стоячих волн. Стоячие волны − это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распро-страняющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и ам-плитудами.
Запишем уравнение двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси Х в противоположных направлениях
| S 1= A cos(ω t − kx)и S 2= A cos(ω t + kx). | (6.8.1) |
Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по фор-муле для суммы косинусов, получим уравнение стоячей волны
S = S 1+ S 2= A cos(ω t − kx)+ A cos(ω t − kx)=2 A cos 2 λ π x cosω t. (6.8.2)
Из данного уравнения видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, при-чем амплитуда зависит от координаты х
| A (x)=2 A cos 2π | x | . | (6.8.3) | |
| λ |
Точки, в которых амплитуда колебаний достигает максимально-го значения и координаты которых удовлетворяют условию
| cos 2π | x | = ± 1 ⇒ 2 π | x | = ± m π ⇒ x = ± m | λ | , | (6.8.4) | |
| λ | λ | |||||||
где m = 0, 1, 2, … называются пучностями стоячей волны.
Точки, в которых амплитуда колебаний обращается в нуль и ко-ординаты которых удовлетворяют условию
| x | x | 1 | 1 | λ | |||||||
| cos 2π | = 0 ⇒ 2 π | = ± m + | π ⇒ x = ± m + | , | (6.8.5) | ||||||
| λ | λ | ||||||||||
где m = 0, 1, 2, … называются узлами стоячей волны.
