Интерференция упругих волн

 

Для того чтобы рассмотреть интерференцию волн, введем поня-тие когерентности. Согласованное протекание во времени и про-странстве нескольких колебательных или волновых процессов связано с понятием когерентности. Волны называются когерентными, если разность их фаз остается постоянной во времени. При наложении в пространстве двух или нескольких когерентных волн в разных его точках получается усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Это явление называется интерференцией волн, и заключается в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других ослабляют друг друга.

 

Рассмотрим наложение двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными источниками S ₁ и S ₂, колеблющимися с одинаковыми амплитудой, частотой, нулевой начальной фазой и по-стоянной разностью фаз. Запишем уравнения колебаний:

 

S =

A 0

cos(ω t − kr)=

A 0

cos ϕ, S

=

A 0

cos(ω t − kr

)=

A 0

cos ϕ

, (6.7.1)

r 1

r 1

r 2

r 2

где r ₁ и r ₂ − расстояния от источников волн до рассматриваемой точки.

 

Амплитуда результирующей волны равна (сложение одинаково направленных колебаний)

A 2=

A 02

+

A 02

+

2 A 0 2

cos(ϕ −ϕ

) =

A 02

+

A 02

+ 2 A 0 2

cos

2π (r

− r

)

. (6.7.2)

r

r

rr

r

r

rr

λ

1 2

1 2

Так как разность начальных фаз

(

ϕ − ϕ

) = 2π (r

− r)=

2 π

= const,

λ

λ

то результат наложения двух волн в различных точках зависит от ве-

личины

= r 2 − r 1, называемой разностью хода волн.

2 π

В

точках,

где

выполняется

условие

=1 ⇒

cos

λ

2π

= ± 2 m π ⇒

= ± m λ (m = 0, 1, 2, … − порядок максимума)

λ

A 2

A 2

2 A 2

A A

A

=

+

+

⇒ A =

+

.

(6.7.3)

r 2

r 2

r r

r

r

1 2

Так как квадрат амплитуды колебаний пропорционален интен-сивности волны, то получаем

 

I =(I 1+ I 2+2 I 1 I 2)>(I 1+ I 2).

(6.7.4)

То есть наблюдается усиление интенсивности (увеличение ам-плитуду) результирующей волны или интерференционный максимум.

2) В точках,

где

выполняется

условие

2 π

= −1 ⇒

cos

λ

2π

1

λ (m = 1, 2, …)

λ

= ± (π+ 2 m π) ⇒ = ± m +

A 2

A 2

2 A 2

A A

A

=

+

−

⇒ A =

−

.

(6.7.5)

r 2

r 2

r r

r

r

1 2

I =(I 1+ I 2−2

I 1 I 2)<(I 1+ I 2)

(6.7.6)

То есть наблюдается ослабление интенсивности (уменьшение ам-плитуды) результирующей волны или интерференционный минимум.

 

Таким образом, в результате наложения двух когерентных волн в среде возникают колебания, амплитуда которых различна в разных

 

точках среды, при этом в каждой точке среды получается или макси-мум амплитуды, или минимум амплитуды, или ее промежуточное значение − в зависимости от значения разности расстояний точки до когерентных источников. Интерференция света приводит к перерас-пределению энергии волны между соседними областями, хотя в сред-нем для больших областей энергия остается неизменной.

 

Стоячие волны

 

Рассмотрим интерференцию стоячих волн. Стоячие волны − это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распро-страняющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и ам-плитудами.

Запишем уравнение двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси Х в противоположных направлениях

S 1= A cos(ω t − kx)и S 2= A cos(ω t + kx).

(6.8.1)

 

Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по фор-муле для суммы косинусов, получим уравнение стоячей волны

 

S = S ₁+ S ₂= A cos(ω t − kx)+ A cos(ω t − kx)=2 A cos ² _λ ^π x cosω t. (6.8.2)

 

Из данного уравнения видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, при-чем амплитуда зависит от координаты х

 

A (x)=2 A cos 2π	x	.	(6.8.3)
	λ

 

Точки, в которых амплитуда колебаний достигает максимально-го значения и координаты которых удовлетворяют условию

cos 2π	x	= ± 1 ⇒ 2 π	x	= ± m π ⇒ x = ± m	λ	,	(6.8.4)
λ	λ

 

где m = 0, 1, 2, … называются пучностями стоячей волны.

 

Точки, в которых амплитуда колебаний обращается в нуль и ко-ординаты которых удовлетворяют условию

 

	x		x		1		1	λ
cos 2π		= 0 ⇒ 2 π		= ± m +		π ⇒ x = ± m +			,	(6.8.5)
λ	λ

 

где m = 0, 1, 2, … называются узлами стоячей волны.