Границы применимости классической механики

Классическая механика (иначе механика Ньютона) предопреде-

 

лило развитие физической науки, так как в ней были сформулированы количественные закономерности механического движения. В класси-ческой механике устанавливается способ описания движения матери-альных точек, что дает возможность теоретического объяснения ме-ханических явлений, встречающихся в природе.

 

Механика Ньютона покоится на прочном фундаменте экспери-ментальных фактов, однако все они относятся к медленным движени-ям макроскопических тел. Под медленными или нерелятивистскими движениями понимают движения,скорости которых очень малы посравнению со скоростью света в вакууме с = 300 000 км/с. Движения, скорости которых приближаются к скорости света в вакууме, называ-ют быстрыми или релятивистскими. В этом смысле движение спут-ника или космического корабля со скоростью υ = 8 км/с является еще очень медленным.

 

Теория относительности Эйнштейна предсказала, а опыт под-твердил это предсказание, что механика Ньютона не может быть при-менима к движениям частиц, скорости которых близки к скорости света в вакууме. На основе теории относительности была создана но-вая механика, применимая не только к медленным, но и к сколь угод-но быстрым движениям. Она называется релятивистской механикой.

 

Согласно механике Ньютона скорость, до которой можно уско-рить тело из состояния покоя, в принципе ничем не ограничена. По релятивистской механике значение скорости ускоряемого тела не мо-жет перейти через определенный предел, равный скорости света в ва-кууме с. В этом смысле скорость света с является предельной. Ско-рость тела не может ее достигнуть, но в принципе может подойти к ней сколь угодно близко.

 

Теория относительности установила границы применимости ньютоновской механики со стороны больших скоростей. Другое огра-

 

ничение, и притом не только ньютоновской, но и релятивистской мак-роскопической механики, было получено в результате изучения мик-ромира −мира атомов,молекул,электронов.

При изучении микромира физики сначала применяли понятия и законы, введенные и установленные для макроскопических тел. Элек-трон, например, рассматривался как твердый или деформируемый ша-рик, по объему которого как-то распределен электрический заряд. Считалось, что поведение электрона управляется теми же законами механики и электродинамики, которые были экспериментально уста-новлены для макроскопических электрически заряженных тел. Счита-лось, что все понятия и законы макроскопической физики применимы и имеют смысл для тел сколь угодно малых размеров и для сколь угодно малых промежутков времени. Считалось, что для понимания явлений микромира не требуется новых понятий и законов, помимо тех, которыми располагает макроскопическая физика. Короче, микро-мир рассматривался просто как уменьшенная копия макромира. Такой подход к изучению явлений природы и теории, основанные на нем,

 

называются классическими.

 

Опыты показали, что классический подход к изучению явлений микромира не применим, или точнее, его применимость к этому кругу явлений ограничена. Адекватное описание явлений микромира(при-менимое, конечно, также в каких-то пределах) дает квантовая меха-ника, существенно отличающаяся от механики классической.Движе-ние в микромире является более сложной формой движения, чем ме-ханическое перемещение тел в пространстве.

 

Таким образом, механика Ньютона имеет очень широкую и практически важную область применимости. В пределах этой области она никогда не утратит своего научного и практического значения. Отказываться от механики Ньютона надо лишь вне области ее приме-нимости, когда она приводит либо к неверным, либо к недостаточно точным результатам. Такова, например, задача о движении заряжен-ных частиц в ускорителях, где надо пользоваться релятивистской ме-ханикой. Таковы задачи о движении электронов в атомах, которые на-до решать с помощью квантовой механики.

В классической механике состояние движения частицы в любой момент времени характеризуется положением (координатой х приодномерном движении) и скоростью υ. Вместо скорости можно пользоваться также импульсом, т. е. величиной p = m υ, равной произ-

 

 

ведению массы частицы m на ее скорость). Образом частицы является геометрическая точка, описывающая с течением времени непрерыв-ную траекторию. В квантовой механике показано, что такой способ описания движения имеет принципиальные границы применимости.

 

Согласно квантовой механике состояние частицы в каждый момент времени нельзя характеризовать точными значениями ее ко-ординаты и импульса в этот момент времени. Если в каком-либо со-

 

стоянии координата известна с неопределенностью δ х, а импульс − с неопределенностью δ р, то обе эти величины одновременно не могут быть сделаны сколь угодно малыми. Они связаны соотношением

 

δ x ⋅δ p ≥ h,

(7.1.1)

 

где h − универсальная постоянная, называемая постоянной Планка в честь немецкого физика-теоретика Макса Планка (1858−1947).

 

Соотношение (7.1.1) называется принципом неопределенностей Гайзенберга по имени немецкого физика-теоретика Вернера Гайзен-берга (1901−1976). Это соотношение определяет принципиальный предел точности одновременного измерения координаты и импульса частицы, который не может быть превзойден никаким усовершенст-вованием приборов и методов измерения. Дело здесь не в ошибках измерений. Такова природа реальных частиц, что мгновенные со-стояния их движения не могут быть охарактеризованы классически − точными значениями координат и импульсов. Частицы ведут себя более сложно, чем материальные точки классической механики. Классическая картина движения по непрерывным траекториям лишь приближенно соответствует законам природы. Границы ее примени-мости определяются соотношением неопределенностей (7.1.1). Из него следует, что мгновенное состояние движения частицы нельзя также характеризовать абсолютно точными значениями координаты и скорости. Неопределенности этих величин должны удовлетворять условию

 

δ x ⋅ m δυ≥ h.

(7.1.2)

 

Таким образом, применимость классической механики имеет следующие границы:

 

1) классическая механика применима для описания механиче-ских систем, в которых скорость составляющих ее объектов намного меньше скорости света (υ << с);

 

2) классическая механика применима для описания только тех

 

Рис. 7.2.1

объектов, для которых динамические величины с размерностью дей-ствия намного больше постоянной Планка.

 

Постулаты Эйнштейна

 

В основе специальной теории относительности А. Эйнштейна лежат два постулата, смысл которых можно выразить так:

1. При одинаковых условиях, реализованных по отдельности в двух системах отсчета некоторой инерциальной системы К (I) и системы К' (II), движущейся равномерно и прямолинейно относи-

тельно системы I любые физи-	y	y ′
ческие процессы в этих систе-
мах отсчета протекают одина-	К	К′
ково, а описывающие их мате-
матические	соотношения	не	υ t
изменяют своего вида при пе-
реходе из одной системы в дру-		y = y ′
гую. Этот	постулат является		O ′υ
обобщением	механического	O
x	x ′
принципа относительности Га-	x
лилея на все без исключения		z = z ′
z ′	x ′
физические явления.	z

2. В природе существует предельная (максимальная) ско-

рость распространения физических сигналов (взаимодействий), одна и та же во всех инерциальных системах отсчета. Эта максимальная ско-рость совпадает со скоростью света в вакууме, она не зависит от дви-жения источника и приемника света и равна с = 300 000 км/с.

 

c = inv.

(7.2.1)

 

Из первого принципа следует: если для данной задачи (некото-рого класса задач) найдена инерциальная система отсчета I, то для этой задачи существует и бесчисленное множество инерциальных систем типа II, движущихся равномерно прямолинейно относительно I. Скорости всех систем II меньше с. Системы отсчета необходимо связывать с телами, а скорости тел не могут равняться или превосхо-дить максимальную скорость света в вакууме, равную с. Скорости тел строго меньше максимальной.

 

Развитие науки показало, что оба принципа Эйнштейна под-тверждаются всей совокупностью экспериментальных и теоретиче-

 

 

ских знаний современной физики.

 

Преобразования Лоренца

 

Любой физический процесс − это последовательность событий. Событие определяется местом (координатами), где оно произошло, и моментом времени, когда оно произошло.

 

Пусть координаты некоторого события в системе отсчета I рав-ны х, у, z, а в системе II они х ', у ', z ' (рис. 7.2.1). Установим связь ме-жду ними, исходя из принципов Эйнштейна, которая должна быть линейной, т. к. закон инерции подтверждается при всех скоростях, вплоть до максимальной скорости с (движение по прямой линии в системе I остается таковым и в системе II). Поэтому форма связи должна быть следующей:

 

x' =α(x −υ t), х =α(x ' +υ t '), y ' = y, z ' = z.

(7.3.1)

 

Множитель α в обеих формулах один и тот же, т. к. системы I и II совершенно равноправны. Формулы (7.3.1) относятся к любым со-бытиям, а множитель α можно определить, рассматривая какое-либо частное событие. Для определения α, рассмотрим распространение света в направлении оси абсцисс от начала координат приход света в точку х ₁ в момент t ₁ (в системе I), что также означает приход его в точку x ₁′ в момент t ₁′ (в системе II).

 

В соответствии со вторым принципом Эйнштейна, путь света в системе I и II равен

 

x 1= ct 1,	x 1′= ct 1′	(7.3.2)
и два равенства должны выполняться на основе формул (7.3.1)
x 1′ = α(x 1− υ t 1),	x 1=α(x 1′+ υ t 1′).	(7.3.3)
Если два равенства (7.3.3) перемножить x 1 x 1′ и заменить	на ос-

новании (7.3.2) через c ² t ₁ t ₁′, то, после сокращения на t ₁ t ₁′, получим c ² = = α²(c ² − υ²), откуда

 

α =			.	(7.3.4)
		υ 2
	1 −
	c

Подставляя найденное значение α в формулы (7.3.1), получим

 

		x − υ t				′	+ υ t	′
′					x		, y ' = y, z ' = z.
=		,	x =				(7.3.5)
x
		υ				υ	2
		1 −			1 −
		c				c

Из второй формулы (7.3.5) легко определить t' (после подста-новки x '). Тогда окончательно имеем

 

x − υ t

t −

υ

x

′

t

′

c 2

=

υ

2

,

=

υ 2, y ' = y, z ' = z.

(7.3.6)

x

1 −

1 −

c

c

Такова связь между координатами (включая время) одного и то-го же события в двух инерциальных системах отсчета I и II (штрихо-ванная система I движется относительной не штрихованной II со ско-ростью υ в направлении оси х).

 

Не составляет труда преобразовать формулы (7.3.6) к виду

 

t

′

+

υ

′

′

+ υ t

′

c

x

x =

x

,

t =

, y ' = y, z ' = z,

(7.3.7)

υ

2

υ 2

1 −

−

c

c

что означает, что относительно системы K ′ система K движется в от-рицательном направлении оси x ′ с той же самой скоростью υ.

 

Формулы (7.3.6) известны в науке как прямые преобразования Лоренца,а формулы(7.3.7) обратные преобразования Лоренца. Всяфизическая теория (механика, электродинамика и др.) подлежала после их открытия такой перестройке, чтобы связи (7.3.6) и (7.3.7) были учтены. Это было осуществлено в специальной теории отно-сительности (сначала в электродинамике Эйнштейном; позже – в механике).