Кинематика абсолютно твердого тела

 

Вращательное движение −это движение,при котором все

 

точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. При вращательном движении скорости и ускорения различных точек тела неодинаковы. Поэтому в качестве общих кинематических характеристик движения тела при вращении вводятся угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение тела. При вращении тела угол поворота изменяется со временем по некоторому закону ϕ = ϕ(t), который называется

 

уравнением вращательного движения тела.

Угловой скоростью тела называется вектор,численно равныйпервой производной по времени от угла поворота тела по времени и направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта:

r	ϕ	r
d ϕ
ω= lim	t	= dt.	(1.6.1)

Вектор угловой скорости направлен по оси вращения, причем так, чтобы вращение, рассматриваемое с конца вектора угловой скорости, происходило против хода часовой стрелки (рис 1.6.1).

			Единицей угловой скорости яв-
			ляется рад/с.
r	r	Скорость	произвольной
υ	точки вращающегося тела назы-
ω		υ
		вается линейной скоростью этой
O	r r	точки.
			При равномерном враще-
			нии угловая скорость не изменя-
			ется со временем, то есть явля-
	r 0	ется постоянной величиной (ω =
	θ	= const). Тогда
	t 2	− t 1)=ωΔ t.
			ϕ=ω ∫ d t =ω (t 2
O *			t 1
Рис. 1.6.1		Равномерное	вращение

 

характеризуется периодом вращения и частотой вращения.

 

Период вращения −это время,за которое точка совершает одинполный оборот, т. е. поворачивается на угол ϕ = 2π и на основании

выражения (1.6.1) T = ²_ω^π.

Частота вращения −это число полных оборотов,котороеделает точка при равномерном вращении, за единицу времени:

 

n = _T ¹=₂^ω_π,откудаω= 2π n.

Для характеристики неравномерного вращения тела вводится понятие углового ускорения.

 

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

 

ε =	d ω	=	d	d ϕ	=	d 2ϕ	.	(1.6.2)
dt			dt		dt 2
		dt

 

При ускоренном вращении вектор углового ускорения сонаправлен с вектором угловой скорости, а при замедленном − противоположен ему.

 

В случае равнопеременного движения точки по окружности (ε =

 

= const) угловая скорость определяется по формуле

r		t		r	r r t
ω	r	r	ω
∫	d ω=∫ε dt	⇒ ∫	d ω= ε∫ dt
r				r
ω0			ω0
				ω
				ω0
				εr
				O

 

⇒	r	r	⇒	r	r
ω − ω0	= ε t	ω = ω0	+ ε t. (1.6.3)

 

ω₀

 

ω

 

O

 

 

ε

 

 

Рис. 1.6.2

 

Или в скалярном виде

 

ω = ω0 ± ε t.

(1.6.4)

 

Проинтегрировав выражение (1.6.1) можно получить формулу для угла поворота тела

 

ϕ= ϕ		±ω t ±	ε t 2	.	(1.6.5)
Исключив из последнего уравнения t, получим
±2εϕ= ω2 − ω2,		(1.6.6).

где ϕ = 2π N, N − число полное число оборотов, совершенных телом. В случае ε = ε(t), угловая скорость и закон вращательного дви-

жения определяются следующими формулами

 

t	t
ω=ω0 + ∫ ε(t) dt,	ϕ= ∫ ω(t) dt.	(1.6.7)