Эпюры внутренних усилий в составных рамах можно построить так же, как и в простых, однако часто эту процедуру удается упростить, если:
– предварительно найти реакции в соединительных шарнирах;
– учесть, что при переходе через соединительный шарнир характер эпюр не меняется, если при этом не меняется характер нагрузки.
Пример 2.4. Построить эпюры M, Q, N (рис. 2.5, а).
Решение. Делим раму на участки (рис. 2.5, а). Для построения эпюр достаточно знать только одну опорную реакцию RB (рис. 2.5, б), которую можно найти из условия равновесия части BC:
S MC ( BC ) = 0; _ RB = ql /2.
Находим реакции в соединительном шарнире (рис. 2.5, б):
S X ( BC )= 0; _ XC = ql /2;
S Y ( BC ) = 0; _ YC = ql.
Теперь построение эпюр на участке 3-2 заданной рамы можно свести к построению эпюр в консоли, защемленной на правом конце – в точке 2, которая загружена распределенной нагрузкой и найденными реакциями XC, YC (аналогично участку 5-3 в примере 2.3 на рис. 2.5, в).
Переходя к рассмотрению левой части рамы – AC можно отбросить правую часть – BC, заменив ее действие найденными реакциями отброшенной части: XC = X¢C ; YC = Y ¢ C. При этом эпюры на участках 3-4 и 4-5 заданной рамы строятся так же, как на участках 1-2 и 2-3 в примере 2.3 (рис. 2.5, в).
Отметим, что при переходе через соединительный шарнир C от участка 2-3 к участку 3-4 меняется характер нагрузки qy, а вместе с ней и характер эпюр M и Q, но не меняется нагрузка qx, поэтому на всем ригеле N = const.
Рис. 2.5
Правильность построения эпюр (рис. 2.5, в – д) можно проверить, рассматривая равновесие рамы в целом или ее ригеля (рис. 2.5, е). ·
Нетрудно догадаться, что для рамы, состоящей из двух дисков, рассмотренная выше схема решения будет целесообразной, если один из дисков присоединен к земле только одной связью – как в примере 2.4. В тех же случаях, когда диски имеют по две опорные связи, часто удается построить эпюры без определения реакций в соединительном шарнире.
Пример 2.5. Построить эпюры внутренних усилий в трехшарнирной раме (рис. 2.6, а).
Решение. Делим раму на участки и определяем опорные реакции (рис. 2.6, б):
S MB = 0; _ YA = ql /4;
S MC ( AС ) = 0; _ XA = ql /4;
S X = 0; _ XB = 3 ql /4;
S Y = 0; _ YB = ql /4.
Проверка:
S MC ( ВС ) = XB × l – YB × l – ql × l /2 = 3 ql 2/4 – ql 2/4 – ql 2/2 = 0.
Рис. 2.6
Эпюры на участке 1-2 строим как в консоли соответствующей длины, закрепленной в точке 2. Момент на левом конце ригеля находим из условий равновесия второго узла. Поскольку ригель незагружен, и эпюра M здесь должна быть линейной, проводим прямую через найденную ординату эпюры M = ql 2/4 и шарнир C, а затем продолжаем ее до узла 4.
На правой стойке эпюру M можно построить как в консоли, закрепленной в узле 4 и загруженной распределенной нагрузкой и найденными реакциями XB, YB. Однако проще рассмотреть этот участок как простую двухопорную балку, загруженную концевым моментом в 4-м узле (соответствующая эпюра показана пунктиром – рис. 2.6, в) и распределенной нагрузкой.
Эпюры Q и N в этом примере нетрудно построить в соответствии с определением (рис. 2.6, г, д).
Для контроля правильности построения эпюр можно рассмотреть равновесие ригеля (рис. 2.6, е). ·
Расчет плоских ферм
Основные понятия
Фермой называется строительная конструкция, модель которой образована из прямолинейных стержней, соединенных идеальными (то есть без трения) шарнирами.
Если нагрузка приложена только в узлах фермы, образованных этими шарнирами, все стержни будут находиться в условиях центрального растяжения или сжатия.
Напомним, что из внутренних усилий для этого вида напряженно-деформированного состояния отличной от нуля может быть только продольная сила: M = 0, Q = 0, N ¹ 0.
В рамках строительной механики расчет фермы сводится к определению усилий в ее стержнях и в дальнейшем, при необходимости, к построению эпюры N.
Рассмотрим два простейших метода определения этих усилий.
Метод сечений
Суть этого метода заключается в следующем: проводят сечение, разбивающее ферму на две части, и рассматривают равновесие одной из частей под действием: активных сил, опорных реакций и усилий в разрезанных стержнях как произвольной плоской системы сил.
Для такой системы можно составить три уравнения равновесия, поэтому метод удобен, когда сечение пересекает не более трех стержней.
Если все рассеченные стержни при этом непараллельны, то для определения усилий целесообразно составить уравнения:
S M 1 = 0; S M 2 = 0; S M 3 = 0,
взяв в качестве моментных точки, где пересекаются линии действия реакций двух разрезанных стержней из трех, а если два стержня параллельны, то уравнения:
S M 1 = 0; S M 2 = 0; S Y = 0,
где ось Oy перпендикулярна этим стержням.
Рассмотренный способ определения усилий можно применять и в том случае, если сечение пересекает более трех стержней, однако при этом каждое из усилий уже не удается найти независимо от остальных, поскольку приходится рассматривать равновесие обеих частей фермы, а иногда - проводить дополнительные сечения.
При решении все стержни фермы рекомендуется считать растянутыми, направляя усилия от узлов.
Пример 2.6. Найти усилия в указанных стержнях фермы (рис. 2.7, а).
| 3 P |
| 3 P |
Рис. 2.7
Решение. Определяем опорные реакции:
S MА = 0; _ RB = 2 P;
S MB = 0; _ RA = P.
Проверка:
S Y = RA + RB - 3 P = 0.
Для определения усилий N 2-3 и N 2-4 проведем сечение I-I (рис. 2.7, б) и рассмотрим равновесие части фермы, взятой слева от этого сечения. Помимо опорной реакции RA к ней будут приложены неизвестные усилия в разрезанных стержнях: N 2-4, N 2-3 и N 1-3 (рис. 2.7, в).
Чтобы найти усилие N 2-4 составим уравнение S M 3(лев) =0, выбрав в качестве моментной точку, где пересекаются линии действия N 2-3 и N 1-3:
- RA × d - N 2-4 × d = 0; _ N 2-4 = - RA = - P.
Поскольку стержни 2-4 и 3-5 параллельны и перпендикулярны оси Оу, для нахождения N 2-3 составляем уравнение:
S Y (лев) = RA - N 2-3 = 0; _ N 2-3 = RA = P.
Для определения усилия в стержне 3-4 проводим дополнительно сечение II-II, пересекающее этот стержень (рис. 2.7, б) и рассматриваем равновесие части фермы, расположенной слева от этого сечения (рис. 2.7, г):
S Y (лев) = RA + N 3-4×sin45° = 0; _ N 3-4 = - RA / sin45° = - P × 
.
То же самое усилие можно найти, рассматривая равновесие части фермы не слева, а справа от этого сечения:
S Y (пр) = RВ - 3 P + N 4-3×sin45° = 0; _ N 4-3 = N 3-4 = - P × . ·
Метод вырезания узлов
Суть этого метода заключается в следующем: рассматривается равновесие вырезанного узла фермы под действием активных сил, опорных реакций и усилий в разрезанных стержнях как системы сходящихся сил.
Для такой системы сил можно составить только два уравнения равновесия:
S X = 0, S Y = 0,
поэтому решение целесообразно начинать с рассмотрения узла, где не более двух неизвестных.
При решении, как и в предыдущем случае, рекомендуется все стержни считать растянутыми, направляя усилия от узлов.
Пример 2.7. Найти усилия в указанных стержнях фермы (рис. 2.7, а), предполагая опорные реакции известными.
Решение. Рассматривая равновесие 1-го узла, к которому приложены силы RA, N 1-2 и N 1-3 , получим (рис. 2.7, б, д):
S Y = RA + N 1-2 ×sin45° = 0; _ N 1-2 = - P × ;
S X = N 1-2 ×cos45° + N 1-3 = 0; _ N 1-3 = P.
Следующим можно рассмотреть 2-й узел, загруженный неизвестными усилиями N 2-4 и N 2-3 и уже найденным усилием N 2-1 = N 1-2 (рис. 2.7, е):
S X = - N 2-1 ×cos45° + N 2-4 = 0; _ N 2-4 = - P;
Рассматривая, наконец, равновесие 3-го узла, загруженного уже найденными усилиями N 3-1 = N 1-3 и N 3-2 = N 2-3, а также неизвестными N 3-4 и N 3-5 (рис. 2.7, ж), получим:
S Y = N 3-2 + N 3-4×sin45° = 0; _ N 3-4 = - P × 
.
Найденные значения N 2-4, N 2-3 и N 3-4 естественно совпадают с результатами, полученным ранее в примере 2.6. Из второго уравнения находим N 3-5:
S X = - N 3-1 + N 3-4×cos45°+ N 3-5 = 0; _ N 3-5 = 2 P.
Эту процедуру можно продолжить и, последовательно рассматривая узлы 4 и 5, определить усилия N 4-5, N 4-6 и N 5-6.
Отметим, что уравнения равновесия для 5-го узла будут содержать только одно неизвестное усилие N 5-6 , а в уравнения, составленные для последнего 6-го узла, вообще войдут только известные величины, поэтому их можно использовать для проверки правильности решения:
S X = - N 6-4 ×cos45° - N 6-5 = 0;
S Y = N 6-4 ×sin45° + RВ = 0.
Таким образом, при определении усилий в стержнях фермы методом вырезания узлов три уравнения оказались «лишними».
Полученный результат не является случайным. Мы рассматриваем фермы, которые являются статически определимыми и геометрически неизменяемыми. Для таких ферм выполняется соотношение (1.3):
W * = 2У– С – СО = 0,
где У - число узлов, С – число стержней фермы, а СО - число опорных связей, равное трем.
Но поскольку число уравнений для определения усилий в стержнях ферм равняется удвоенному числу узлов, а число неизвестных – числу стержней, то действительно число уравнений всегда на три будет превышать число неизвестных. ·
Примечания
1. Метод вырезания узлов в отличие от метода сечений является рекуррентным, поэтому ошибка при определении усилия в одном из стержней неизбежно скажется на правильности результата для всех остальных.
2. Рассмотренный метод вырезания узлов можно и целесообразно использовать совместно с методом сечений.
3. Метод можно рассматривать как в аналитической, так и в графической форме.
4. Правильность решения, как и при расчете рам, проверяют, рассматривая равновесие тех узлов или частей фермы, которые не использовались для определения усилий.
4. Правильность решения, как и при расчете рам, проверяют, составляя такие уравнения равновесие узлов или частей фермы, которые не использовались для определения усилий.
5. Во многих случаях расчет фермы удается упростить, если предварительно определить незагруженные или нулевые стержни. Для нахождения таких стержней можно воспользоваться следующими признаками нулевых стержней, справедливость которых легко доказать с помощью метода вырезания узлов.
Признак 1. Усилия в стержнях фермы, образующих незагруженный двухстержневой узел, равны нулю.
Признак 2. Если в загруженном двухстержневом узле линия действия силы совпадает с одним из стержней, усилие во втором стержне равно нулю.
Признак 3. Если в незагруженном трехстержневом узле два стержня расположены вдоль одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю.
Найденные нулевые стержни можно исключить из фермы вместе с соответствующими шарнирами, упростив тем самым расчетную схему.
Пример 2.7. Найти усилия в указанных стержнях фермы (рис. 2.8, а).
Рис. 2.8
Решение. Данная ферма относится к категории арочных, то есть, она образована из двух дисков АС и ВС способом трехшарнирной арки (§1.2.4). Для определения опорных реакций можно воспользоваться уравнениями:
S MА = 0; _ VA = Р /2;
S MB = 0; _ VВ = - Р /2;
S MC ( AC ) = 0; _ HA = Р /2;
S X = 0; _ HB = – Р /2.
Однако в данном примере усилия в указанных стержнях фермы можно найти и без определения опорных реакций, если воспользоваться упомянутыми выше признаками нулевых стержней.
В самом деле, рассматривая равновесие 3-го узла фермы, мы найдем, что N 2-3 = 0 (признак 3), поэтому этот стержень можно исключить из фермы вместе с шарниром 3. Тогда N 2-1 = N 2-4 = 0 (признак 1) и эти стержни из фермы также можно исключить.
Аналогично, из условия равновесия 5-го узла, получим, что N 5-6 = 0 (признак 3), поэтому этот стержень также можно исключить из фермы вместе с шарниром 5. Тогда согласно второму признаку N 6-7 = 0, то есть стержень 4-6 фактически передает нагрузку от 6-го узла к 4-му узлу. Поэтому расчетной схемой фермы служит диада, образованная из двух стержней 1-4 и 4-7, соединенных шарниром 4, к которому приложена сила Р (рис. 2.8, б). Из условий равновесия 4-го узла, получим:
N 4-1 = - (Р × )/2;
N 4-7 = (Р × )/2.
Итак, N 4-2 = N 2-4 = 0, N 4-3 = N 4-1 = - (Р × )/2. ·
Расчет трехшарнирных арок
Основные понятия
Трехшарнирной аркой называется составная система, образованная из двух дисков, прикрепленных к земле опорными шарнирами А и В и соединенных друг с другом ключевым шарниром С (рис. 2.9, а).
В дальнейшем ограничимся рассмотрением арок, загруженных вертикальной нагрузкой, у которых опорные шарниры находятся на одной горизонтали, а ключевой шарнир расположен симметрично относительно опор.
Расстояние l между опорами арки называется ее пролетом, а высота fС, на которой расположен соединительный шарнир С – стрелой подъема арки.
Арка является типичным представителем распорных систем, у которых под действием приложенной вертикальной нагрузки появляются не только вертикальные, но и горизонтальные составляющие опорных реакций, называемые распором (рис. 2.9, б).
Определение опорных реакций арки не отличается от определения опорных реакций трехшарнирной рамы (пример 2.5) или арочной фермы (пример 2.7):
S MА = 0; _ VВ = (1/ l) S Pi ai ;
S MВ = 0; _ VА =(1/ l) S Pi (l - ai);
S X = 0; _ HA = HB = H;
S MC ( AС ) = 0; _ H = HA = (1/ fС)[ VА ×(l /2) -S Pi (l /2 - ai)].
Каждой арке можно поставить в соответствие балку с пролетом, равным пролету арки, которая загружена той же нагрузкой, что и арка (рис. 2.9, в). Очевидно, что реакции такой балки будут равны вертикальным реакциям арки:
VА Б = VА; VВ Б = VВ,
поэтому последнее выражение для распора арки можно записать в виде:
H = MС Б/ fС , (2.1)
где MС Б = [ VА ×(l /2) -S Pi ×(l /2 - ai)] - балочный изгибающий момент под шарниром С, то есть изгибающий момент в сечении x = l /2 соответствующей балки.
Чтобы выяснить, в чем состоит преимущество арки перед соответствующей балкой, перейдем к определению внутренних усилий в арке.
Внутренние усилия в арке
Рассмотрим арку в системе координат Оху, где начало отсчета связано с опорой А (рис. 2.9, г) и обозначим через y = f (x) функцию, описывающую очертание оси арки. Проведем сечение на расстоянии х от этой опоры и рассмотрим часть арки слева от сечения.
Рис.2.9
Введем локальную систему отсчета с ортами t N и n Q, и обозначим через j угол, который орт t составляет с осью Ох. В отличие от принятого ранее правила (§ 2.2.1) положительным будем считать момент, соответствующий растянутым нижним волокнам арки, то есть так, как принято в сопромате. Это сделано для удобства сравнения изгибающего момента в арке с изгибающим моментом в соответствующей балке.
Из условия равновесия левой части арки получим:
S MC ( AС ) = 0; _ M (x) = [ VА × x -S Pi (x - ai)] - H × f (x),
или иначе:
M (x) = M (х)Б - H × f (x), (2.2)
где M (х)Б = [ VА × x -S Pi ×(x - ai)] - балочный изгибающий момент в сечении x.
Последняя формула означает, что при одинаковой нагрузке изгибающие моменты в арке меньше изгибающих моментов в балке соответствующего пролета на величину H × f (x), что наглядно показано на рис. 2.9, д, е.
Это обстоятельство позволяет применять арки для перекрытия больших пролетов – порядка десятков метров. При этом отношение высоты сечения такой арки к длине перекрываемого пролета, как правило, не превышает 1/100. Ни фермы, ни балки не позволяют достичь такого результата.
Для определения поперечной силы в арке составим уравнение:
S n(лев) = 0;_ Q (x) = (VА -S Pi)×cosj - H ×sinj,
или, иначе
Q (x) = Q Б (x)×cosj - H ×sinj, (2.3)
где Q Б (x) = VА -S Pi - поперечная сила в соответствующей балке.
Таким образом, при одинаковой нагрузке поперечная сила в арке меньше поперечной силы в балке соответствующего пролета.
Чтобы определить продольную силу составим уравнение:
S t(лев) = 0;_ N (x) = - [(VА -S Pi)× sinj + H ×cosj].
Найденную продольную силу также можно представить в виде:
N (x) = - [ Q Б (x)×sinj + H ×cosj]. (2.4)
Последняя формула показывает, что уменьшение изгибающего момента и поперечной силы в арке по сравнению с соответствующей балкой достигается за счет появления продольной силы, которая, как следует из (2.1), будет особенно значительной для арок с небольшим отношением fC / l.
Таким образом, в арке, как и в раме, в общем случае появляются все три составляющих внутренних усилий: M, Q и N.
Рациональная ось арки
Формула (2.2) показывает, что при заданной нагрузке изгибающие моменты в арке можно уменьшить вплоть до нуля, если соответствующим образом подобрать очертание ее оси.
Определение. Рациональной называется такая арка, изгибающие моменты в которой равны нулю.
Пусть арка с пролетом l и стрелой подъема fC загружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (x).
Определим очертание рациональной оси такой арки, воспользовавшись соотношением (2.2). Полагая в нем M (x) = 0, получим:
M (х)Б - H × f (x) = 0,
откуда найдем искомое уравнение:
y = f (x) = M (х)Б/ H.
Подставляя сюда выражение изгибающего момента в простой двухопорной балке, загруженной равномерно распределенной нагрузкой:
M (х)Б = (ql /2)× x - qx 2/2,
и учитывая, что в силу (2.1) H = МС Б/ fС = (ql 2)/(8 fС), получим уравнение рациональной оси арки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой:
y = f (x) = (4 fС / l 2)×(xl - x 2).
Как видим, такая арка имеет параболическое очертание.
Примечания
1. Глобальная система координат Оху, в которой мы рассматриваем арку, не совпадает с локальной системой координат, введенной в § 1.3, поэтому приведенные там основные уравнения строительной механики, включая дифференциальные зависимости Журавского (1.10), в нашем случае выполняться не будут. В частности, у рассмотренной арки рационального очертания поперечная сила будет отлична от нуля, несмотря на равенство нулю изгибающего момента.
Это обстоятельство не препятствует определению внутренних усилий и расчету данного класса статически определимых систем на прочность.
2. Что касается перемещений, то в следующей главе будет показано, как перемещения в арке и в других стержневых системах можно найти, не обращаясь непосредственно к основным уравнениям строительной механики.
3. В этом пособии мы ограничимся рассмотрением эпюр внутренних усилий в арке как функций абсциссы х, а не длины дуги s. Отметим, что при этом, в отличие от рам, ось эпюры не совпадает с осью арки.
