Статистический подход к понятию вероятности

Определение. Относительной частотой события A называется отношение числа испытаний N(A), в которых это событие произошло к полному числу испытаний в серии N, т. е. при этом N(A)£ N.

Пример 3.16. В серии испытаний, состоящей из 1000 бросаний монеты, орел выпал 508 раз, тогда относительная частота выпадения орла равна 0,508.

Результаты наблюдений показывают, что при достаточно большом числе испытаний частота появления события обладает свойством устойчивости.

Рассмотрим различные серии испытаний, связанных с бросанием симметричной монеты и представим их результаты в виде таблицы 3.3.

Заметим, что многие ученые проводили подобный эксперимент. Данные серий 5, 6, 7, 8, 9 и 10, представленные в таблице 3.3, соответствуют реальным результатам, полученным Бюффоном, Де Морганом, Джевонсом и Романовским, Пирсоном и Феллером.

Результаты 5–10 серий позволяют сделать вывод об устойчивости частоты появления события при достаточно большом числе испытаний в серии. В нашем случае частота выпадения орла близка к 0,5.

Таблица 3.3

Результаты серий испытаний

В настоящее время все чаще вместо натурного эксперимента используют компьютерный эксперимент, в котором моделируются реальные испытания, например, бросания монеты или игральной кости.

Определение. Вероятностью события А называется число, к которому стремится относительная частота этого события при неограниченном увеличении количества испытаний в серии.

Вероятность события A принято обозначать P(A).

Следовательно, можно записать формулу для нахождения вероятности следующим образом:

при . (3.7)

Замечание. Значения вероятности всегда лежат в пределах от нуля до единицы включительно:

Действительно, статистическая вероятность оценивается относительной частотой появления события при большом числе испытаний , где N – числоиспытаний в серии и выражается натуральным числом, N(A) – числоиспытаний в которых событие A произошло, является либо натуральным числом, либо нулем. Минимальное значение, которое может принимать отношение равно нулю при условии, что событие A ни разу не произойдет, максимальное – единице при условии, что событие A происходит в каждом испытании серии.

Статистический поход к определению понятия вероятности широко используется на практике, например, при проведении социологических, экономических и других исследований.

Пример 3.17. Известно, что в партии из 1000 деталей отдел технического контроля обнаружил 50 нестандартных деталей. Оценить вероятность обнаружения бракованной детали.

По условию задачи числоиспытаний в серии N= 1000 является достаточно большим, поэтому вероятность события A ( обнаружение бракованной детали в партии) можно оценить с помощью относительной частоты этого события. Учитывая статистический подход к понятию вероятности и используя формулу (3.7), имеем: