Достаточный признак расходимости ряда

Если то ряд расходится.

Пример 2.20.

Ряд расходится по достаточному признаку расходимости, т. к.

 

Признаки сходимости рядов с положительными членами:

1. Признак сравнения.

Пусть и − ряды с положительными членами. Если

то эти ряды сходятся или расходятся одновременно.

2. Признак Даламбера. Пусть

Если l < 1, то ряд сходится.

Если l > 1, то ряд расходится.

3. Радикальный признак Коши. Пусть

Если l < 1, то ряд сходится.

Если l > 1, то ряд расходится.

4. Интегральный признак Коши. Пусть f (x) − непрерывная, убывающая и положительная на промежутке [1; ∞) функция. Тогда ряд сходится (расходится), если сходится (расходится) интеграл

Пример 2.21.

Исследовать на сходимость ряд:

Решение.

1. необходимо применить один из признаков сходимости положительных рядов – признак сравнения.

При ~ ~ сравним исходный ряд с расходящимся рядом .

исходный ряд расходится.

2. Применим признак Даламбера (найдем ):

ряд сходится.

3. Применим радикальный признак Коши (найдем ):

ряд расходится.

4. Применим интегральный признак Коши. Функция непрерывная, убывающая и положительная на промежутке [1; ∞).

Интеграл сходится, следовательно, и ряд сходится.

Замечание. С помощью интегрального признака Коши можно доказать, что ряд сходится при р > 1 и расходится при р ≤ 1.

2.93. Исследовать ряд на сходимость:

2) 3)

5) 6) 7) 8)

17) 18) 19) 20)

2.94. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:

1) 2) 3) 4) 5)

6) 7) 8) 9) 10)

Степенные ряды

Определение. Степенным рядом называется сумма

где а_п

Множество значений х, при которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

Любой степенной ряд сходится при х = 0 (его сумма S равна а ₀), т. е. область его сходимости не пуста.

Схема нахождения области сходимости степенного ряда:

1. Найти радиус сходимости ряда

Если R ≠ 0, то ряд сходится на интервале (− R; R).

2. Если R ≠ 0, исследовать ряд на сходимость при х = R и х = − R. В случае сходимости присоединить точку (точки) к интервалу.

Пример 2.22.

Найти область сходимости степенного ряда: 1) ; 2) .

Решение.

Найдем радиус сходимости ряда:

ряд сходится при

Пусть х = 1, тогда ряд принимает вид − сходится.

Пусть х = –1, тогда ряд принимает вид − сходится абсолютно, т. к. ряд сходится.

Ответ: [–1; 1].

ряд сходится при

Пусть х = 1, тогда ряд принимает вид − расходится.

Пусть х = –1, тогда ряд принимает вид − сходится по признаку Лейбница ( члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине).

Ответ: [–1; 1).

2.95. Найти область сходимости степенного ряда:

1) ; 2) 3) 4) 5)

6) 7) 8) 9) 10)

11) 12) 13) 14)

 

Формула Маклорена (разложение функции в ряд по степеням х)

 

~

 

Разложения в ряд Маклорена некоторых функций

2.96. Разложить функцию в ряд по степеням x и указать область сходимости полученного ряда:

1) 2) 3) 4) ;

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12)

2.97. Найти решение задачи Коши в виде степенного ряда (первые три члена ряда):

1) 2)

3) 4)

Указание. Найти первые три члена ряда по формуле Маклорена.

Формула Тейлора (разложение функции в ряд

по степеням (х – а))

~

 

2.98. Разложить в ряд функцию:

1) по степеням (х – 1);

2) по степеням (х + 1);

3) по степеням (x + 2);

4) по степеням (x – 1).

2.99. Вычислить приближенно с заданной точностью:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8)

9) 10)

 

Контрольные задания

 

1. Исследовать ряд на сходимость:

1) 4)

2) 5)

3) 6)

2. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:

1) 2) 3)

3. Найти область сходимости ряда:

1) 2) 3)

4. Разложить в ряд функцию:

по степеням (х –1);

по степеням (х +1);

по степеням (x +2).

5. Вычислить приближенно с заданной точностью:

1. а) б) 2. а) б)

3. а) б)