Если 
то ряд 
расходится.
Пример 2.20.
Ряд 
расходится по достаточному признаку расходимости, т. к. 
Признаки сходимости рядов с положительными членами:
1. Признак сравнения.
Пусть и 
− ряды с положительными членами. Если
то эти ряды сходятся или расходятся одновременно.
2. Признак Даламбера. Пусть
Если l < 1, то ряд сходится.
Если l > 1, то ряд расходится.
3. Радикальный признак Коши. Пусть
Если l < 1, то ряд сходится.
Если l > 1, то ряд расходится.
4. Интегральный признак Коши. Пусть f (x) − непрерывная, убывающая и положительная на промежутке [1; ∞) функция. Тогда ряд 
сходится (расходится), если сходится (расходится) интеграл
Пример 2.21.
Исследовать на сходимость ряд:
Решение.
1. 
необходимо применить один из признаков сходимости положительных рядов – признак сравнения.
При 
~ 
~ 
сравним исходный ряд с расходящимся рядом 
.
исходный ряд расходится.
2. Применим признак Даламбера (найдем 
):
ряд сходится.
3. Применим радикальный признак Коши (найдем 
):
ряд расходится.
4. Применим интегральный признак Коши. Функция 
непрерывная, убывающая и положительная на промежутке [1; ∞). 
Интеграл сходится, следовательно, и ряд 
сходится.
Замечание. С помощью интегрального признака Коши можно доказать, что ряд 
сходится при р > 1 и расходится при р ≤ 1.
2.93. Исследовать ряд на сходимость:
2) 
3) 
5) 
6) 
7) 
8) 
17) 
18) 
19) 
20) 
2.94. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
Степенные ряды
Определение. Степенным рядом называется сумма
где ап 
Множество значений х, при которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда.
Любой степенной ряд сходится при х = 0 (его сумма S равна а 0), т. е. область его сходимости не пуста.
Схема нахождения области сходимости степенного ряда:
1. Найти радиус сходимости ряда
Если R ≠ 0, то ряд сходится на интервале (− R; R).
2. Если R ≠ 0, исследовать ряд на сходимость при х = R и х = − R. В случае сходимости присоединить точку (точки) к интервалу.
Пример 2.22.
Найти область сходимости степенного ряда: 1) 
; 2) 
.
Решение.
Найдем радиус сходимости ряда:
ряд сходится при 
Пусть х = 1, тогда ряд принимает вид 
− сходится.
Пусть х = –1, тогда ряд принимает вид 
− сходится абсолютно, т. к. ряд 
сходится.
Ответ: [–1; 1].
ряд сходится при 
Пусть х = 1, тогда ряд принимает вид 
− расходится.
Пусть х = –1, тогда ряд принимает вид 
− сходится по признаку Лейбница (
члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине).
Ответ: [–1; 1).
2.95. Найти область сходимости 
степенного ряда:
1) 
; 2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
Формула Маклорена (разложение функции в ряд по степеням х)
~ 
Разложения в ряд Маклорена некоторых функций
2.96. Разложить функцию в ряд по степеням x и указать область сходимости полученного ряда:
1) 
2) 
3) 
4) 
;
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
2.97. Найти решение задачи Коши в виде степенного ряда (первые три члена ряда):
1) 
2) 
3) 
4) 
Указание. Найти первые три члена ряда по формуле Маклорена.
Формула Тейлора (разложение функции в ряд
по степеням (х – а))
~ 
2.98. Разложить в ряд функцию:
1) 
по степеням (х – 1);
2) 
по степеням (х + 1);
3) 
по степеням (x + 2);
4) 
по степеням (x – 1).
2.99. Вычислить приближенно с заданной точностью:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
Контрольные задания
1. Исследовать ряд на сходимость:
1) 
4) 
2) 
5) 
3) 
6) 
2. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:
1) 
2) 
3) 
3. Найти область сходимости ряда:
1) 
2) 
3) 
4. Разложить в ряд функцию:
по степеням (х –1);
по степеням (х +1);
по степеням (x +2).
5. Вычислить приближенно с заданной точностью:
1. а) 
б) 
2. а) 
б) 
3. а) 
б) 
