Глава 3. Теория вероятностей

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Теория вероятностей и математическая статистика − разделы математики, наиболее широко используемые в самых различных областях деятельности от маркетинговых исследований до социального прогнозирования. Для успешного овладения навыками решения прикладных задач необходимо освоить основные теоретические и практические аспекты теории вероятностей и математической статистики.

Элементы комбинаторики

При решении вероятностных задач часто используются формулы комбинаторики – одного из разделов математики, который изучает различные комби­нации, составленные из заданного конечного множества различимых между собой объектов различной природы (буквы алфавита, цифры, предметы и др.).

 

Факториал

Определение. Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от n до

Факториал натурального числа n обозначается n! и читается «эн факториал»

(3.1)

Факториал нуля равен единице

Пример 3.1. Сократить дробь:

Пример 3.2. Сократить дробь:

Перестановки

Определение. Комбинации из n элементов множества, отличающиеся порядком, называются перестановками.

Число перестановок из n элементов обозначается P_n.

P _n = n! (3.2)

Пример 3.3. Сколькими способами можно разместить на полке три книги?

В данной задаче необходимо найти число перестановок из четырех элементов. Существует четыре варианта выбора первой книги. Далее остается три варианта выбора второй книги, два варианта третьей книги и один способ выбора четвертой книги.

Таким образом, число способов N разместить четыре книги на полке равно произведению чисел 4, 3, 2 и 1, т. е.

способа.

Пример 3.4. Сколько различных буквенных комбинаций можно составить из букв слова «апельсин»?

Слово «апельсин» состоит из 8 различных букв, поэтому число буквенных комбинаций равно числу перестановок из 8 элементов, то есть применима формула (3.2)

P₈ = 8! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 = 40320 способов.

Интересно отметить, что из всех этих комбинаций только одна – спаниель – является осмысленным словом русского языка.

3.1. Сократить дробь:

а) б) в) г) д) е) ж)

3.2. Сколько различных предложений можно составить из трех слов: «сегодня», «идет», «дождь»?

3.3. Сколько различных пятизначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4 и 5?

3.4. Сколькими способами можно разместить четырех пассажиров в четырехместном купе поезда?

3.5. Порядок выступления семи участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

 

Размещения

 

Определение. Размещениями из n элементов по k (n ³ k) называют множество комбинаций из k элементов, выбираемых из n элементов, отличающихся составом или порядком.

Число размещений из n элементов по k принято обозначать

Пусть необходимо найти число размещений из n элементов по k. Существует n способов выбора первого элемента. После того как он выбран, остается (n − 1) способ выбора второго элемента. Для выбора третьего элемента остается (n − 2) способа, и вообще после выбора элементов от первого до (k − 1)-го остается (n – k + 1) способов для выбора k -го элемента. Таким образом, имеем

A_n^k = n × (n − 1) × (n − 2) ×…× (n – k + 1). (3.3)

Домножив и разделив правую часть формулы (3.3) на (n − k)!, получим:

(3.4)

Заметим, что понятие перестановок можно определить используя понятие размещений.

Определение. Размещения из n элементов по n называются перестановками.

Действительно, учитывая (3.3), имеем:

P_n = A_nⁿ = n × (n − 1) × (n − 2) ×…× (n – n + 1) = n!.

Используя формулу (3.4), получим тот же результат:

С помощью данного соотношения легко объяснить, почему принято считать 0!=1.

Пример 3.5. Сколько двухбуквенных комбинаций, не содержащих повторений, можно составить из 32 букв русского алфавита?

В данной задаче необходимо найти число размещений из 32 элементов по 2 по формуле (3.3):

двухбуквенных комбинаций.

По данным «Словаря русского языка», из этих 992 комбинаций только 114 являются словами. Например, да, ад, еж, яр и т. д.

Пример 3.6. Учащиеся 9 класса изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день так, чтобы было 6 различных уроков?

По условию задачи расписание на один день должно быть составлено из 6 различных уроков, а всего 10 предметов. Поскольку важен порядок расположения уроков в расписании (какой урок первый, какой − второй и т. д.), следовательно, необходимо найти число размещений из 10 элементов по 6. Таким образом, в соответствии с формулой (3.4) получим:

3.6. Сколько различных шестизначных телефонных номеров, не содержащих одинаковых цифр, можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9?

3.7. В классе 25 учеников. Сколькими способами можно выбрать трех учащихся для участия в олимпиадах по математике, русскому языку и биологии?

3.8. В соревнованиях по бегу принимают участие 20 спортсменов. Сколькими способами могут быть распределены между участниками первое, второе и третье места?

 

 

Сочетания

Определение. Сочетаниями из n элементов по k (n ³ k) называют множество комбинаций из k элементов, выбираемых из n элементов, отличающихся составом.

Число сочетаний из n элементов по k принято обозначать

Из определения сочетаний следует, что они отличаются друг от друга только элементами, и поэтому сочетания еще называют выборками.

Для вычисления рассмотрим размещения из n элементов по k и объединим в отдельные группы комбинации, которые содержат k одинаковых элементов и отличаются только порядком этих элементов. Каждая группа будет содержать P_k = k! элементов, поэтому справедливо равенство:

.

Отсюда с учетом формул (3.2) и (3.4) следует:

. (3.5)

Если в формуле (3.5) заменить число k на n − k, то получим:

. (3.6)

Пример 3.7. В соревновании участвуют 12 спортсменов. Сколькими способами можно выбрать трех из них для участия в первом забеге?

При выборе трех спортсменов из двенадцати порядок, в котором их будут выбирать, не играет роли, поэтому число способов, которыми можно выбрать трех из них для участия в первом забеге, найдем с помощью формулы (3.5):

способов.

3.10. Сколькими способами можно в карточке «Спортлото» зачеркнуть 6 номеров из 49?

3.11. В наборе 12 цветных карандашей. Сколькими способами можно выбрать четыре карандаша из этого набора?

3.12. Решить уравнение:

а) б) в) г)

Правило сложения

Правило. Если элемент из множества А можно выбрать m способами, а элемент из множества В – n способами, причем множества А и В не пересекаются, то выбрать один элемент из этих множеств можно m + n способами:

Следствие. С помощью метода математической индукции правило сложения распространяется на любое число конечных непересе­кающихся множеств и любое количество выбираемых из этих множеств элементов.

В формулировках задач на правило сложения используется союз русского языка «или » по аналогии с операциями объединения множеств и дизъюнкции.

Пример 3.8. В урне 5 белых и 6 красных шариков. Сколькими способами можно выбрать два шарика одного цвета?

В данной задаче необходимо найти число способов N, которыми можно выбрать 2 белых шара из 5 белых шаров или 2 красных шара из 6 красных шаров. Пусть A – множествобелых шаров, B – множество красных шаров, при этом множества A и B – не пересекаются. Для того чтобы найти число способов, которыми можно выбрать два элемента из множеств A или B, воспользуемся следствием правила сложения. Учитывая, что 2 элемента из 5 можно выбрать числом способов равным, а 2 элемента из 6 можно выбрать числом способов, равным и, используя формулу (3.5), имеем:

способов.

3.13. В лабораторной клетке находятся 4 белых, 5 серых и 6 черных кроликов. Сколькими способами можно выбрать одного кролика из всех, находящихся в клетке?

3.14. На парте лежат тетрадь, книга, ручка и карандаш. Сколькими способами можно выбрать один предмет?

3.15. Сколькими способами можно выбрать не менее пяти карандашей разного цвета из семи имеющихся в наборе?

3.16. В урне 3 белых, 5 синих и 7 красных шариков. Сколькими способами можно выбрать три шарика одного цвета?

3.17. Некоторый комитет состоит из 12 человек. Минимальный кворум (наименьшее количество человек, которое должно присутствовать на заседании) для принятия решения составляет 8 человек. Сколькими способами может быть достигнут какой-либо кворум (на заседании должно присутствовать не менее 8 человек)?

Правило произведения

Правило. Пусть множество А состоит из элементов (a₁, a₂,…a_m), множество В – из элементов (b₁, b₂,…b_k). Из множества А выбирается один из его m элементов и независимо от него из множества В выбирается любой из его k элементов. Множество всех пар, которые можно составить из элементов множеств А и В, можно записать в следующем виде:

(a_1, b₁), (a_1, b₂), …, (a_1, b_k),

(a_2, b₁), (a_2, b₂), …, (a_2, b_k),

………………………….

(a_n, b₁), (a_n, b₂), …, (a_n, b_k).

Таким образом, общее число N всех пар равно m × n:

Следствие. С помощью метода математической индукции правило произведения распространяется на любое число конечных множеств и любое количество выбираемых из этих множеств элементов.

В формулировках задач на правило произведения часто используется союз русского языка «и» по аналогии с операциями пересечения множеств и конъюнкции.

Пример 3.9. В столовой предлагают два вида первых блюд, три вида вторых блюд и два вида десерта. Сколькими способами можно составить обед из трех блюд?

Обозначим множество первых блюд через А, вторых – В и третьих – С. Обозначив число способов, которыми можно составить обед из трех блюд через N и используя правило произведения, получим:

N = 2 × 3 × 2 = 12 способов.

Пример 3.10. В урне 3 красных и 4 синих шарика. Сколькими способами можно выбрать четыре шарика так, чтобы два из них были красными, а два – синими?

Обозначим множество красных шариков через А, синих– В. Обозначив число способов, которыми можно выбрать два красных шарика из множества А и два синих шарика – из множества В, через N и используя правило произведения, получим:

способов.

Пример 3.11. В урне 5 красных, 7 белых и 4 зеленых шарика. Сколькими способами можно выбрать три шарика так, чтобы из них хотя бы два были красными?

Обозначим множество красных шариков через А, белых– В, зеленых – C. Вопрос, поставленный в задаче можно сформулировать следующим образом: сколькими способами можно выбрать три шарика так, чтобы было два красных шарика и один белый или два красных шарика и один зеленый или три красных шарика?

Обозначив число способов, которыми можно выбрать три шарика так, чтобы из них хотя бы два были красными через, N и, используя правила суммы и произведения, получим:

3.18. В вазе стоят пять розовых, семь красных и три белых розы. Сколькими способами можно выбрать три розы разного цвета? Сколькими способами можно выбрать три розы так, чтобы две были белые, а одна красная? Сколькими способами можно выбрать пять роз так, чтобы две из них были белыми, две красными и одна розовая?

3.19. В генетическом эксперименте использовали 4 белых, 7 красных и 5 розовых цветков гороха, которые были выбраны из имеющихся 10 белых, 10 красных и 10 розовых цветков. Сколькими способами можно было выбрать цветки для эксперимента?

3.20. В лабораторной клетке находятся 4 белых, 5 серых и 6 черных кроликов. Сколькими способами можно выбрать трех кроликов разного цвета? Сколькими способами можно выбрать шесть кроликов так, чтобы два из них были белыми, два серыми и два черными? Сколькими способами можно выбрать четырех кроликов так, чтобы два из них были белыми, один серый и один черный?

3.21. В урне 3 белых, 5 синих и 7 красных шариков. Сколькими способами можно выбрать три белых шарика и один синий? Сколькими способами можно выбрать пять шариков так, чтобы два из них были белыми, два – синими и один красным?

3.22. Из 10 красных и 7 белых гвоздик нужно составить букеты из трех цветов. Сколькими способами можно это сделать?

3.23. В 9 классе обучаются 11 мальчиков и 14 девочек. Сколькими способами можно выбрать 5 учащихся для участия в конкурсе КВН так, чтобы в команде было не менее трех мальчиков?

3.24. На книжной полке стоит собрание сочинений из 20 томов. Сколькими способами можно переставить книги так, чтобы первый и второй тома стояли рядом? Сколькими способами можно переставить книги так, чтобы третий и четвертый тома не стояли рядом?

 

Контрольные вопросы

1. Сформулировать определение понятия факториала. Как вычисляется факториал натурального числа?

2. Сформулировать определение понятия перестановок. Как вычисляются перестановки?

3. Сформулировать определение понятия размещений. Как вычисляются размещения?

4. Сформулировать определение понятия сочетаний. Как вычисляются сочетания?

5. Сформулировать правило сложения. Привести примеры применения правила сложения для решения задач комбинаторики.

6. Сформулировать правило произведения. Привести примеры применения правила произведения для решения задач комбинаторики.