у' = f 1(x)× f 2(y).
Решение.
dy/dx = f 1(x)× f 2(y) |× dx / f 2(y), f 2(y) ≠ 0,
dy/ f 2(y) = f 1(x)× dx,
общее решение (общий интеграл) уравнения.
Случай f 2(y) = 0 рассматривается с помощью подстановки в исходное уравнение.
Пример 2.11. Решить уравнение 
Решение.
dy/dx = у 2 сosx |× dx / у 2, у ≠ 0,
dy / у 2 = cosxdx,
–1/ y = sinx + C,
y = –1/(sinx + C) – общее решение.
Рассмотрим случай у = 0.
Подставляя в исходное уравнение у = 0, получаем:
0' = 02 cosx, 0 = 0 – верно Þ у = 0 – решение уравнения.
Это решение не может быть получено как частное решение общего решения ни при каком значении С.
Ответ: y = –1/(sinx + C), у = 0.
2.81. Решить уравнения:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
2. Однородные уравнения 1-го порядка
Уравнения решают с помощью замены
После подстановки z и 
в исходное уравнение получается уравнение с разделяющимися переменными (см. п. 1).
2.82. Решить уравнения:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
3. Линейные уравнения 1-го порядка
у ' + p (x)× y = f (x),
где p (x), f (x) – непрерывные функции.
Пример 2.12. Решить уравнение у ' + xy = x.
Решение.
Пусть 
тогда 
и уравнение принимает вид 
Группируя первое и третье слагаемые, получаем
Равенство будет верным, если 
Найдем частное решение первого уравнения системы:
Подставим полученное решение во второе уравнение системы и найдем его общее решение:
C помощью замены 
получаем общее решение: 
Подставляя найденные решения 
и 
в равенство получаем решение исходного уравнения:
Ответ: 
Задача Коши для уравнения 1-го порядка имеет вид
Пример 2. 13.
Решить задачу Коши 
Решение.
Найдем общее решение уравнения 
:
dy / dx = х 2 у |× dx/у, у ≠ 0,
dy / у = x 2 dx,
ln| y | = х 3 /3 + С.
Подставим в это решение х = 2 и у = 1 (см. условие у (2) = 1):
ln|1| = 23 /3 + С,
0 = 8/3 + С Þ С = – 8/3.
Подставляя это значение в общее решение, получаем
Ответ: ln|y| = (х3 – 8)/3.
2.83. Решить уравнение или задачу Коши:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
4. Линейные однородные уравнения 2-го порядка
С постоянными коэффициентами
,
где p, q 
R.
Решение.
Составим характеристическое уравнение 
и решим его.
Возможны три случая:
1) k 1,2 R, k 1 ≠ k 2 (дискриминант D > 0);
2) k 1 ,2 R, k 1 = k 2 = k (D = 0);
3) k 1,2 = 
C (D < 0).
Каждому из этих случаев соответствует общее решение уравнения:
1) 
2) 
3) 
Пример 2.14.
Решить уравнения:
1) 
2) 
3) 
4) 
Решение.
1) 
Ответ: 
2) 
Ответ: 
3) 
Ответ: 
4) 
Ответ: 
2.84. Решить уравнения:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
5. Уравнения вида y(n) = f (x)
Решение.
…, 
Пример 2. 15.
Решить уравнение: 1. 
2. 
Решение.
1. 
Ответ: 
2. 
Ответ: 
2.85. Установить вид частного решения неоднородного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами, если:
1) 
2) 
3) 
4) 
2.86. Решить уравнение или задачу Коши:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Последовательности и ряды
Определение. Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента
Пример 2.16.
Найти первые три члена последовательности 
Решение.
2.87. Найти пять первых членов последовательности 
, если:
1) 
2) 
3) 
4) 
2.9.1. Предел последовательности
Определение. Число А называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такой номер N = N (ε), что для всех n ≥ N будет выполняться неравенство − аn − A −< ε.
Пример 2.17. Доказать, используя определение предела последовательности, что предел последовательности 
равен нулю.
Решение.
Пусть ε > 0. Составим неравенство 
и решим его относительно n. Получаем:
Итак, для любого ε > 0 существует такой номер 
(или целой части дроби), что для всех 
выполняется неравенство , т. е. предел последовательности равен нулю. Например, при ε = 0,1 N = 21.
2.88. Доказать, используя определение предела последовательности, что 
; 
Пример 2.18. Найти предел последовательности 
.
Решение.
2.89. Найти предел последовательности:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
2.90. Вычислить пределы, используя равенство 
Числовые ряды
Определение. Числовым рядом называется сумма
где ап 
Пример 2.19. 
Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если
где 
частичная сумма ряда;
S − сумма ряда.
В противном случае ряд называется расходящимся.
2.91. Записать формулу общего члена ряда:
2.92. Найти сумму числового ряда:
1) 
2) 
3) 
