Определение. Событие 
называется зависимым от события 
если вероятность события зависит от того, произошло событие 
или нет.
Определение. Вероятность события 
вычисленная при условии, что событие произошло, называется условной вероятностью события и обозначается 
Теорема. Вероятность произведения событий и равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:
или 
(3.14)
Условие независимости события от события можно записать в виде 
Из этого утверждения следует, что для независимых событий выполняется соотношение:
(3.15)
т. е. вероятность произведения независимых событий и , равна произведению их вероятностей.
Замечание. Вероятность произведения нескольких событий 
равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:
Если события независимые, то имеем:
Пример 3.31. В ящике 5 белых и 3 черных шара. Из него наугад последовательно без возвращения вытаскивают два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
Пусть событие − появление белого шара при первом вынимании, − появление белого шара при втором вынимании. Учитывая, что 
, 
(вероятность появления второго белого шара при условии, что первый вынутый шар был белым и его не возвратили в ящик). Так как события и зависимые, то вероятность их произведения найдем по формуле (3.15):
Пример 3.32. Вероятность попадания в цель первым стрелком 0,8; вторым – 0,7. Каждый стрелок выстрелил по мишени. Какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель? Какова вероятность того, что один стрелок попадет в цель?
Пусть событие 
– попадание в цель первым стрелком, 
– вторым. Все возможные варианты можно представить в виде таблицы 3.5, где «+» обозначает, что событие произошло, а «−» − не произошло.
Таблица 3.5
|
|
|
| + | + |
| + | − |
| − | + |
| − | − |
Пусть событие 
– попадание хотя бы одним стрелком в цель, Тогда событие является суммой независимых событий и 
следовательно, применить теорему о вероятности суммы несовместных событий в данной ситуации нельзя.
Рассмотрим событие 
противоположное событию 
которое произойдет тогда, когда ни один стрелок не попадет в цель, т. е. является произведением независимых событий 
Используя формулы (3.13) и (3.15), получим:
Пусть событие 
– попадание одним стрелком в цель. Это событие можно представить следующим образом:
События 
и 
– независимые, события 
и 
также являются независимыми. События, являющиеся произведениями событий 
и 
– несовместными. Используя формулы (3.10) и (3.15) получим:
Свойства операций сложения и умножения событий:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
