Элементы теории вероятностей

При рассмотрении отдельных испытаний нельзя предсказать заранее их исход. Например, мы не может заранее предсказать выпадет орел или решка при бросании монеты; сколько раз выпадет шестерка при пятикратном бросании игральной кости; попадет стрелок в цель или промахнется; сколько доброкачественных изделий окажется среди отобранных десяти, выпущенных на одном заводе, и др. Однако если рассматривать большое число испытаний, проводимых в одинаковых условиях (серия испытаний), то проявляется определенная закономерность. Например, при бросании монеты 1000 раз примерно 500 раз выпадет орел.

Таким образом, теория вероятностей изучает закономерности случайных массовых явлений.

Основные понятия теории вероятностей

К основным понятиям теории вероятностей относятся: испытание (опыт, эксперимент), случайное событие (исход, шанс, успех), относительная частота появления события и вероятность.

Испытаниев теории вероятностейпонимается очень широко. Это и специально организованный эксперимент, и простое наблюдение, и мысленный эксперимент (обдумывание всех возможных результатов предполагаемого опыта).

Определение. Случайное событие (событие) − результат испытания, который при реализации определенного комплекса условий может произойти или не произойти.

В теории вероятностей события принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D и т. д.

Например, случайными событиями являются:

· выпадение орла (решки) в испытании, связанном с бросанием монеты;

· выпадение какого-либо числа от 1 до 6 в испытании, связанном с бросанием игральной кости;

· попадание (промах) при стрельбе;

· выпуск бракованного изделия в массовом производстве.

Определение. Серия испытаний − проводимые многократно, при реализации определенного комплекса условий, испытания.

Например, к сериям испытанийможно отнести:

· многократное бросание монеты;

· выпуск большого числа изделий на одном и том же станке;

· многократная стрельба по мишени из одного и того же орудия при неизменных условиях.

Классификация событий

Определение. События, которые при реализации определенного комплекса условий всегда происходят, называются достоверным. Например, выпадениечисла от 1 до 6 включительно на верхней грани при бросании игральной кости.

Определение. События, которые при реализации определенного комплекса условий никогда не происходят, называются невозможными. Например, при бросании игральной кости никогда не выпадет число больше шести и меньше единицы.

Определение. События, которые при реализации определенного комплекса условий никогда не могут произойти одновременно в результате одного испытания, называются несовместными. Например, несовместными являются события, состоящие в одновременном:

· выпадении орла и решки в результате одного бросания монеты;

· выпадении на верхней грани игральной кости чисел 2 и 3 или любых двух чисел от 1 до 6 при ее однократном бросании;

· попадании и промахе при одном выстреле по мишени.

Определение. Два события называются противоположными, если в результате одного испытания всегда происходит одно и только одно из этих событий. В теории вероятностей событие, противоположное событию принято обозначать (читается «не А»). Например, противоположными являются события:

· выпадение орла и выпадение решки в результате одного бросания монеты;

· попадание и промах при одном выстреле по мишени.

Определение. События образуют полную группу, если в каждом испытании реализуется одно и только одно из попарно несовместных событий. Например, полную группу образуют следующие события:

· выпадение орла или решки в результате одного бросания монеты;

· выпадение чисел от 1 до 6 при однократном бросании игральной кости;

· попадание или промах при одном выстреле по мишени.

Учитывая определение понятия несовместных событий, противоположные события можно определить иначе.

Определение. Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными.

Замечание. Понятие несовместных событий является более широким по отношению к понятию противоположных событий, так как все противоположные события являются несовместными, но не все несовместные события являются противоположными. Например, при однократном бросании игральной кости выпадение чисел 5 или 6 на ее верхней грани являются событиями несовместными. Однако эти события не являются противоположными, поскольку возможны события, связанные с выпадением чисел от 1 до 4.

Определение. События А и В называются независимыми, если в результате проведения испытания, наступление или ненаступление одного события не влияет на наступление или ненаступление другого события. Например, независимыми являются следующие события:

· выпадение орла на первой монете и решки на второй монете в испытании с бросанием двух монет;

· выпадение орла при первом бросании и орла при втором бросании монеты;

· выпадение числа 6 при первом бросании и числа 2 при втором бросании игральной кости;

· попадание в цель первым, вторым или третьим стрелками.

3.24. Какие из перечисленных событий являются достоверными, а какие невозможными:

а) выпадение числа 7 на верхней грани игральной кости при ее однократном бросании;

б) выпадение натурального числа, лежащего в пределах от 1 до 6, на верхней грани игральной кости при ее однократном бросании;

г) выпадение орла и решки при однократном бросании монеты.

3.25. Какие из перечисленных событий являются несовместными, а какие независимыми:

а) событие A − выпадение на верхней грани игральной кости четного числа и событие B − выпадение на верхней грани игральной кости нечетного числа;

б) событие C − попадание в цель стрелком при первом выстреле и событие D − попадание в цель стрелком при втором выстреле;

г) событие E − выпадение орла при бросании первой монеты и событие F − выпадение орла при бросании второй монеты;

д) событие H₁ – вытащить случайным образом белый шар из урны, содержащей 5 белых, 3 красных и 7 черных шаров, событие H₂ − красный шар, событие H₃ – черный шар.

3.26. Какие события являются противоположными следующим событиям:

а) выпадение четного числа на верхней грани игральной кости;

б) выпадение на верхней грани игральной кости числа меньше четырех;

в) попадание стрелком в цель;

г) выпадение орла при бросании монеты;

д) из колоды карт вытащить наугад карту красной масти;

е) из колоды карт вытащить наугад карту бубновой масти.

 

Алгебра событий

Определение. Суммой событий A и B (A + B) называется такое событие C, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий A или B.

Разъяснить смысл операции суммы событий можно с помощью таблицы 3.1, в которой знак «+» обозначает наступление события, а «−» соответствует ситуации, когда событие не наступило.

 

Таблица 3.1

Сумма событий A и B

A	B	A+B
+	+	+
+	−	+
−	+	+
−	−	−

 

Операция суммы событий аналогична операциям объединения множеств и дизъюнкции.

Замечание. Операции суммы событий, как и операции объединения множеств, соответствует союз русского языка «или».

С помощью метода математической индукции операция суммы распространяется на любое число событий.

Определение. Суммой событий A₁, A₂, A₃,…, A_n называется такое событие C, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий A₁, или, A₂,или, A₃,или, …, или A_n.

Пример 3.12. Пусть событие A – попадание в цель первым стрелком, событие B – попадание в цель вторым стрелком. Что представляет собой событие, являющееся суммой этих событий? Что представляет собой событие, противоположное сумме событий A и B?

Суммой событий A и B является событие C, состоящее в попадании в цель хотя бы одним стрелком, т. е. событие C произойдет, если первый стрелок попадет в цель, а второй – не попадет в цель или второй стрелок попадет в цель, а первый – не попадет в цель или оба стрелка попадут в цель.

Событие, противоположное сумме событий A и B, произойдет тогда и только тогда, когда оба стрелка не попадут в цель, т. е. и первый стрелок не попадет в цель и второй стрелок не попадет в цель.

Пример 3.13. Пусть событие A – выпадение двойки на верхней грани игральной кости, событие B – выпадение четверки, C – выпадение шестерки. Что представляет собой событие, являющееся суммой этих событий? Что представляет собой событие, противоположное сумме событий A, B и C?

Суммой событий A, B и C является событие, состоящее в выпадении четного числа на верхней грани игральной кости.

Событие, противоположное сумме событий A, B и C, состоит в выпадении нечетного числа (единицы, или тройки, или пятерки) на верхней грани игральной кости.

Пример 3.14. Рассмотрим опыт с бросанием двух монет. Пусть событие A – выпадение орла и на первой монете и на второй монетах, событие B – выпадение решки на первой монете и орла на второй монете, C – выпадение орла на первой монете и решки на второй монете, D – выпадение решки и на первой и на второй монетах. Что представляет собой событие, состоящее в выпадении хотя бы одного орла?

Событие, состоящее в выпадении хотя бы одного орла, представляет собой сумму событий A, B и C, т. е. A + B + C.

Определение. Произведением событий A и B (A × B) называется такое событие C, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события A и B.

Разъяснить смысл операции произведения событий можно с помощью таблицы 3.2, в которой знак «+» обозначает наступление события, а «−» соответствует ситуации, когда событие не наступило.

 

Таблица 3.2

Произведение событий A и B

A	B	A× B
+	+	+
+	−	−
−	+	−
−	−	−

 

Операция произведения событий аналогична операциям пересечения множеств и конъюнкции.

Замечание. Операции произведения событий, как и операции пересечения множеств, соответствует союз русского языка «и».

С помощью метода математической индукции операция произведения распространяется на любое число событий.

Определение. Произведением событий A₁, A₂, A₃,…, A_n называется такое событие C, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят все события A₁, и A₂, и A₃, и …, и A_n.

Пример 3.15. Пусть событие A – попадание в цель первым стрелком, событие B – попадание в цель вторым стрелком. Что представляет собой событие, являющееся произведением событий A и B? Что представляет собой событие, противоположное произведению событий A и B?

Произведением событий A и B является событие C, которое происходит тогда и только тогда, когда оба стрелка попадают в цель, т. е. и первый стрелок и второй стрелок попадут в цель.

Событие, противоположное произведению событий A и B, произойдет тогда и только тогда, когда хотя бы один стрелок не попадет в цель, т. е. событие произойдет, если первый стрелок попадет в цель, а второй – не попадет в цель или второй стрелок попадет в цель, а первый – не попадет в цель или оба стрелка не попадут в цель.