Геометрический подход к понятию вероятности

 

Пусть попадание в область G точки, брошенной наугад, является достоверным событием. Рассмотрим область g, лежащую внутри области G, и обозначим через A событие – попадание точки, брошенной наугад в область g.

G

Определение. Вероятность события A равна отношению мер областей и и не зависит ни от места расположения области g внутри области G, ни от формы области g. Если меры областей g и G в общем случае обозначать mes g и mes G соответственно, то вероятность события A равна:

g

(3.9)

Замечание. В том случае, когда рассматриваются трехмерные области, то вероятность попадания точки, брошенной наугад в область g, равна отношению их объемов, если же области двухмерные, то отношению их площадей, а если одномерные, то отношению их длин.

Пример 3.26. Стрелок стреляет по мишени. Пусть попадание в мишень является достоверным событием. Какова вероятность попадания в область мишени, соответствующую 10 баллам, если её площадь равна 1 кв. ед., а площадь всей мишени – 10 кв. ед.?

Полагая, что события, состоящие в попадании в определенную точку мишени, равновероятны, тем не менее использовать классический подход к понятию вероятности в данной ситуации невозможно, т. к. невозможно подсчитать как количество благоприятных исходов, равное числу точек области, соответствующей десяти очкам, так и количество всех элементарных исходов, соответствующих числу всех точек мишени. Следовательно, для решения данной задачи необходим другой подход к понятию вероятности – геометрический.

Пусть событие A состоит в попадании точки, брошенной наугад в область g, тогда в соответствии с (3.9) имеем:

Пример 3.27. На отрезке АВ = 15 см произвольным образом выделен отрезок MN = 3 см. На отрезке АВ случайным образом отмечается точка X. Какова вероятность попадания точки X на отрезок MN?

Обозначим через A – попадание точки X на отрезок MN. Используя геометрический подход к определению понятия вероятности, получим:

Пример 3.28. Пусть событие A – случайным образом отмеченная на отрезке АВ точка X совпадет с его серединой. Какова вероятность точки, брошенной наугад, попасть в точку Х, если длина отрезка АВ равна 10.

Для нахождения вероятности события A используем геометрический подход к определению понятия вероятности. Заметим, что в математике принято считать площадь точки равной нулю, следовательно, и ее «длина» также равна нулю. Учитывая это замечание, получим:

Замечание. В предыдущей задаче вероятность события A – попадания точки наугад в середину отрезка АВ – равна нулю, как, впрочем, и вероятность попадания в любую другую точку отрезка. Однако такие события не являются невозможными.

Таким образом, как для статистической вероятности, так и для геометрической вероятности утверждение: «Если событие невозможное, то его вероятность равна нулю» является всегда истинным, а обратное ему утверждение: «Если вероятность события равна нулю, то оно является невозможным» – нет.

3.33. На отрезке АВ = 12 см произвольным образом выделен отрезок MN = 2 см. На отрезке АВ случайным образом отмечается точка X. Какова вероятность попадания точки X на отрезок: а) AM; б) AN; в) MN; г) MB; д) AB?

3.34. Внутри квадрата со стороной 10 см выделен круг радиусом 2 см. Случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она попадет в выделенный круг?

3.35. Поверхность рулетки разделена на секторы следующим образом: равные секторы 1 и 2 занимают половину площади круга, а вторая его половина разделена на три равных сектора 3, 4 и 5.

Найти вероятность того, что после раскручивания стрелка рулетки случайным образом остановится в секторах:

а) 1;

б) 3;

в) 1 или 2;

г) 4 или 5;

д) 1 или 5;

е) с четным номером;

ж) с нечетным номером;

з) с номером не менее 3-х.