Экстремумы и выпуклость.
Асимптоты графика функции
Определение. Критической точкой функции у = f (х) называется точка 
в которой производная равна нулю или не существует.
Теорема. Если в промежутке (а; b) производная 
положительна/отрицательна, то в этом промежутке функция 
возрастает/убывает.
Теорема. Если при переходе через критическую точку 
производная меняет знак с «+» на «−» (с «−» на «+»), то − точка максимума (минимума) функции 
Определение. Функция 
называется выпуклой вверх(вниз) в промежутке (а; b), если в этом промежутке точки графика лежат под (над) касательными, построенными в этих точках. Точкой перегиба называется точка графика функции, которая делит его на части с разными направлениями выпуклости.
Пример 2.3.
Исследовать функцию 
на монотонность и экстремумы, выпуклость.
Решение.
1. Исследуем функцию на монотонность и экстремумы.
Сделаем рисунок (рис. 2.1).
| 1,5 |
| y′ |
| x |
| − |
| − |
| + |
| y |
Рис. 2.1. Исследование функции на монотонность и экстремумы
х = 1,5 – точка минимума, y min = 
2. Исследуем функцию на выпуклость.
Сделаем рисунок (рис. 2.2).
| y′′ |
| x |
| − |
| − |
| + |
| y |
| вып. вниз |
| вып. вверх |
| вып. вниз |
Рис. 2.2. Исследование функции на выпуклость
Вычислим ординаты точек перегиба графика:
Координаты точек перегиба: (0; 0), (1; −1).
2.32. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
2.33. Найти наименьшее и наибольшее значенияфункции:
1) 
на промежутке [2; 4];
2) 
на промежутке [−1; 1];
3) 
на промежутке [−4; 4];
4) 
на промежутке [−2; 1].
2.34. Издержки производства С (у. е.) зависят от объема выпускаемой продукции х (ед.): 
Найти наибольшие издержки производства, если х изменяется на промежутке [2; 7]. Найти значение х, при котором прибыль будет максимальной, если выручка от реализации единицы продукции равна 15 у. е.
2.35. Требуется выделить прямоугольную площадку земли в 512 м2, огородить ее и разделить забором на три равные части параллельно одной из сторон площадки. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы на ограждение пошло наименьшее количество материала?
2.36. При заданном периметре прямоугольного окна найти такие его размеры, чтобы оно пропускало наибольшее количество света.
2.37. Найти максимум прибыли, если доход R и издержки C определяются формулами: 
где х − количество реализованного товара.
2.38. Зависимость объема выпуска продукции W от капитальных затрат К определяется функцией 
Найти интервал изменения К, на котором увеличение капитальных затрат неэффективно.
2.39. Функция издержек имеет вид 
Доход от реализации единицы продукции равен 200. Найти оптимальное для производителя значение выпуска продукции.
2.40. Зависимость объема выпуска продукции 
(в денежных единицах) от капитальных затрат 
определяется функцией 
Найти интервал значений , на котором увеличение капитальных затрат неэффективно.
2.41. Считается, что увеличение реализации 
от затрат на рекламу (млн руб.) определяется соотношением 
Доход от реализации единицы продукции равен 20 тыс. руб. Найти уровень рекламных затрат, при котором фирма получит максимальную прибыль.
2.42. Доход от производства продукции с использованием единиц ресурса составляет величину 
Стоимость единицы ресурса – 10 ден. ед. Какое количество ресурса следует приобрести, чтобы прибыль была наибольшей?
2.43. Функция издержек имеет вид 
Доход от реализации единицы продукции равен 50. Найти максимальное значение прибыли, которое может получить производитель.
2.44. Зависимость дохода монополии от количества выпускаемой продукции определяется как 
Функция издержек на этом промежутке имеет вид 
Найти оптимальное для монополии значение выпуска продукции.
2.45. Цена на продукцию монополии-производителя устанавливается в соответствии с отношением, идентифицируемым как 
. При каком значении выпуска продукции доход от ее реализации будет наибольшим?
2.46. Функция издержек имеет следующий вид 
при 
при 
. В настоящий момент уровень выпуска продукции 
При каком условии на параметр p фирме выгодно уменьшить выпуск продукции, если доход от реализации единицы продукции равен 50?
2.47. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости графика функции:
1) 
2) ; 3) 
4) 
5) 
6) 
.
2.48. Найти асимптоты графика функции:
Указание. Вертикальнаяасимптотаимеет уравнение х = а, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке х = а равен ∞.
Наклоннаяасимптота имеет уравнение 
где 
2.4.2. Общая схема исследования функции
и построения ее графика
1. Найти область определения функции и установить наличие вертикальных асимптот.
2. Исследовать функцию на четность/нечетность, периодичность.
3. Установить наличие наклонных (горизонтальных) асимптот.
4. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.
5. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика.
6. Найти точки пересечения графика с осями координат и дополнительные точки, уточняющие график.
2.49. Исследовать функцию и построить ее график:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
; 6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
Контрольные задания
Вариант 1.
1. Найти 
2. Исследовать функцию и построить ее график: 
Вариант 2.
1. Найти 
2. Исследовать функцию и построить ее график: 
Вариант 3.
1. Найти 
2. Исследовать функцию и построить ее график: 
Неопределенный интеграл
Определение. Функция F (x) называется первообразной функции f (x) на некотором промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство F′ (x) = f (x).
Определение. Неопределенным интегралом от функции f (x) называется семейство ее первообразных:
где F(x) – некоторая первообразная для f (x);
C – произвольная постоянная.
Основные свойства неопределенного интеграла
Таблица интегралов
1. 
2. 
3. 
Частный случай: 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
Частный случай: 
9. 
Частный случай 
10. 
11. 
Примеры.
2.50. Найти интегралы:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
; 8) 
; 9) 
; 10) 
;
11) 
; 12) 
; 13) 
; 14) 
.
2.51. Найти интегралы:
1) 
2) 
3) 
; 4) 
;
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
; 14) 
; 15) 
; 16) 
;
17) 
18) 
2.5.1. Метод замены переменной
в неопределенном интеграле
где 
– дифференцируемая функция.
Примеры.
2.52. Найти интегралы методом замены переменной:
1) 
2) 
3) 
4) 
; 5) 
6) 
7) 
; 8) 
9) 
10) 
; 11) 
12) 
;
13) 
14) 
15) 
;
16) 
; 17) 
; 18) 
Пример 2.4.
2.53. Найти интегралы от рациональных функций.
1) 
; 2) 
; 3) 
dx;
4) 
; 5) 
; 6) 
;
7) 
8) 
9) 
dx;
10) 
; 11) 
; 12) 
Пример 2.5.
2.54. Найти интегралы от иррациональных функций:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
5) 
6) 
; 7) 
2.55. Найти интегралы от тригонометрических функций:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
; 6) 
; 7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
2.5.2. Метод интегрирования по частям
в неопределенном интеграле
Пусть u= u(x), v= v(x) – дифференцируемые функции. Тогда справедливо равенство (формула интегрирования по частям):
Примеры.
2.56. Найти интегралы, применяя интегрирование по частям:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
2.57. Найти интегралы:
1) 
2) 
3) 
; 4) 
;
5) 
6) 
; 7) 
8) 
dx;
9) 
10) 
; 11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
Определенный интеграл
Определение. Определенным интегралом от функции f (х) называется предел интегральной суммы:
При этом функция f(х) называется подынтегральной функцией, а и b – нижним и верхним пределами интегрирования соответственно.
Укажем свойства определенного интеграла, которые будут необходимы при решении задач:
1. 
2. 
3. 
4. 
Геометрический смысл определенного интеграла: площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой у = f (х), равна
2.6.1. Правила вычисления определенного интеграла
1. Формула Ньютона–Лейбница:
где F′ (x) = f (x).
2. Замена переменной:
где x = 
– функция, непрерывная вместе с 
на отрезке 
– функция, непрерывная на отрезке 
.
3. Интегрирование по частям: 
где u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые на [a, b] функции.
4. Если f(x) – нечетная функция, то 
5. Если f(x) – четная функция, то 
Примеры.
1) 
2.58. Вычислить интегралы:
1) 
2) 
3) 
; 4) 
5) 
; 6) 
7) 
; 8) 
9) 
10) 
11) 
; 12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
2.6.2. Геометрические приложения
определенного интеграла
Пример 2.6.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 2, х = у 2.
Решение.
Графики функций пересекаются в точках (0; 0), (1; 1) (рис. 2.3).
Y
X
у = х2
у = √х
Рис. 2.3. Площадь фигуры
2.59. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
1) 
2) 
5) 
; 6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
2.60. Найти объем тела, образованного вращением вокруг осей Ох и Оу плоской фигуры, ограниченной линиями:
2) 
4) 
Указание. Объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг осей координат Ох и Оу, соответственно равен:
2.61. Найти длину дуги кривой:
1) 
от х = 0 до х = 1; 2) 
от х = 0 до х = 1;
3) 
от точки О(0; 0) до точки А (4; 8).
Указание. Длина дуги кривой 
при 
равна
