Некоторые свойства пределов

Пусть Тогда:

Примеры.

2)

3)

4)

5)

6)

7)

2.8. Найти пределы:

5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ;

18) ; 19) ; 20) ;

21) ; 22) ; 23) ; 24) ; 25) ; 26) ;

27) ; 28) ; 29) ; 30) .

Замечательные пределы

Замечательный предел № 1:

Следствие 1.

Следствие 2.

Следствие 3.При sin k x ~ k x.

Замечательный предел № 2:

или

Примеры.

1) (1-й способ).

, т. к. при sin 2 x ~ 2 x (2-й способ).

т. к. при sin x/2 ~ x/2.

т. к. при sin x ~ x.

2.9. Найти пределы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) 18) ;

19) ; 20) 21) ;

22) ; 23) ; 24) ;

25) 26)

Непрерывность функции в точке

Определение. Функция называется непрерывной в точке если выполняются условия:

1. определена в точке х = а.

3. Значение функции в точке х = а равно пределу в этой точке, т.е.

Точки разрыва функции могут быть Ι рода (выполнено только условие 2 – «устранимый разрыв» или выполнено условие 1, причем в точке односторонние пределы конечны, но различны – «скачок») или ΙΙ рода (предел функции в точке не существует либо хотя бы один из односторонних пределов бесконечен).

Пример 2.1.

Исследовать функцию на непрерывность:

Решение.

1. Каждая из составляющих функций является элементарной, значит, каждая из них непрерывна во всех точках, в которых она определена. Точки, «подозрительные» на разрыв: х = 0, х = 1.

Пусть x = 0.

y (0) существует, у (0) = 3∙0 = 0.

Следовательно, в точке х = 0 функция непрерывна по определению.

Пусть х = 1.

y (1) существует; у (1) = 2.

3 ≠ 2, следовательно, точка х = 1 является точкой разрыва 1-го рода (скачок).

2. D(y): x ≠ 1.

Т. к. в точке х = 1 функция не определена, то это точка разрыва.

точка разрыва второго рода.

2.10. Найти точки разрыва функций:

1) ; 2) ;

3) 4)

2.11. Исследовать функции на непрерывность:

1) ; 2) ; 3)

4) 5) ; 6) ;

7) 8) ;

Контрольные задания

Вариант 1.

1. Найти пределы:

2. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции (указать их характер):

Вариант 2.

1. Найти пределы:

2. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции (указать их характер):

Вариант 3.

1. Найти пределы:

2. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции (указать их характер):

Производная и дифференциал

Определение. Производной функции f (х) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆ х стремящемся к нулю, если этот предел существует:

Производные простейших функций:

1. ()' = ; частные случаи: ; ()' = .

2. ()' = ; частный случай:

3. ()' = ; частный случай: ()' = .

4. (sin x)' = cos x. 5. (cos x)' = − sin x.

6. (tg x)' = . 7. (ctg x)' = .

8. (arcsin x)' = . 9. (arccos x)' = – .

10. (arctg x)' = . 11. (arcctg x)' = – .

Правила дифференцирования

1. Производная постоянной:

2. Производнаясуммы:

3. Производнаяпроизведения .

Следствие: , т. е. постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная частного:

5. Производная сложной функции: ,

где f = f(x), g = g(x) – дифференцируемые функции.

Пусть функция заданапараметрически: Тогда ее производная равна

2.3.1. Примеры вычисления производных

11. Найти производную функции, заданной неявно:

Решение.

2.12. Найти производную функции по определению производной:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

2.13. Найти производную функции:

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

10)

11) 12) 13)

14) 15) 16)

17) 18) 19)

20) 21) 22)

23) 24) 25) 26) 27) 28)

29) 30) 31)

32) 33) 34)

2.14. Найти производную функции и вычислить ее значение при x = x₀:

1) 2)

2.15. Найти производные функций, заданных неявно:

1) 2)

3) 4)

2.16. Найти производную n -го порядка функций:

1) 2)

3) 4)

2.3.2. Применение производной в экономике

2.17. Объем продукции u (ед.) в течение рабочего дня представляет функцию u = , где t – время (ч). Найти производительность труда, скорость и темп ее изменения через 2 часа после начала работы; за 1 час до ее окончания (при 8-часовом рабочем дне).

2.18. Зависимость между издержками производства y (ден. ед.) и объемом выпускаемой продукции х (ед.) выражается функцией:

а) б)

Определить средние и предельные издержки при объеме продукции, равном 5 ед.

2.19. Зависимость между себестоимостью продукции С и объемом Q ее производства выражается формулой Определить эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 30.

Указание. Эластичность функции y (x) равна

где и − относительные приращения функции и аргументов соответственно. Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y = f (x) при изменении аргумента x на 1 %.

2.20. Функции спроса q и предложения s от цены p выражаются соответственно уравнениями: 1) q = 7 − p, s = p + 1; 2)

Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 5 % от равновесной.

2.21. Функции спроса q и предложения s от цены p выражаются соответственно уравнениями q = 9 − p и s = p + 2.

Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 10 % от равновесной.

2.22. Функции долговременного спроса q и предложения s от цены p на мировом рынке нефти имеют соответственно вид: q = 30 − 0,9p, s = 16 + 1,2p.

1. Найти эластичность спроса в точке равновесной цены.

2. Как изменятся равновесная цена и эластичность спроса при уменьшении предложения нефти на рынке на 25 %?

2.23. Зависимость между себестоимостью готовой продукции предприятия у (млн руб.) и объемом выпускаемых изделий х (тыс. шт.) выражается уравнением Найти эластичность себестоимости продукции предприятия, выпускающего 12 тыс. шт. изделий. Какие рекомендации можно дать руководителям предприятий об изменении величины объема выпускаемой продукции?

2.24. Зависимость потребления y от дохода x задается функцией Показать, что эластичность функции потребления от дохода не зависит от параметра а и стремится к нулю при неограниченном возрастании дохода.

2.25. Функция потребления некоторой страны имеет вид: где x − совокупный национальный доход.

Найти: а) предельную склонность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 32.

2.26. Функция сбережения некоторой страны имеет вид: где x – совокупный национальный доход.

Найти: а) предельную склонность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 27.

2.27. Функция спроса q от цены p описывается формулой где и k – известные величины. Найти, при каких значениях цены p спрос будет эластичным.

2.28. Найти изменение выручки с увеличением цены на товар при разных вариантах эластичности спроса, если выручка V (р) равна произведению цены р на величину спроса q (р).

2.3.3. Дифференциал функции

Определение. Дифференциалом функции у = f (х) называется выражение