Электрический диполь. Электрический момент диполя. Напряженность и потенциал поля диполя

 

Диполем называется совокупность двух равных зарядов противо-положного знака, находящихся на расстоянии, малом по сравнению с расстоянием до точек, в которых рассматривается его электрическое поле. Линия, проходящая через заряды, называется осью диполя. Век-

 

тор l, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к поло-

 

жительному и равный расстоянию между ними, называется плечом диполя (рис. 2.1.1).Вектор,совпадающий по направлению с плечомдиполя и равный произведению модуля заряда на плечо диполя, назы-

вается электрическим моментом диполя:

 

	(2.1.1)
pе ql.

 

l

_{– q} ^pe

 

_+q Ось диполя

 

 

Рис. 2.1.1

 

Вычислим сначала потенциал, а затем напряженность поля ди-поля. Это поле обладает осевой симметрией. Поэтому картина поля в любой плоскости, проходящей через ось диполя, будет одной и той

 

же, причем вектор E лежит в этой плоскости. Положение точки от-носительно диполя будем характеризовать с помощью радиуса-вектора r либо с помощью полярных координат r и (рис. 2.1.2).

 

Расстояния от зарядов +q и – q до данной точки А обозначим соответственно через r₊ и r_–.

E Er

E

e

А

er

r

r

r

M

O

N

− q

l /2

l

l /2

+ q

Рис. 2.1.2

Потенциал в точке А равен:

1 q q

q

r

r

.

(2.1.2)

r

r

r r

Так как r >> l (согласно определению электрического диполя), то можно считать, что r ₊ r _– r ², тогда

	q		r	r
						.	(2.1.3)
4 0		r

 

Используя теорему косинусов, запишем для треугольников МАО и NAO (рис. 4.2) выражения

r 2

r 2

l

2 r

l

cos 180 r 2

l

rl cos;(2.1.4)

r 2

r 2

l

2 r

l

cos r 2

l

rl cos.

(2.1.5)

Вычтем из выражения (2.1.4) выражение (2.1.5) и с учетом того, что r _– + r ₊ 2 r, получим:

 

r 2	r 2	2 rl cos	r	r	r	r		2 rl cos
		r	r	2 r 2 rl cos		r	r l cos.	(2.1.6)

Подставим результат выражения (2.1.6) в выражение (2.1.3):

 

q

l cos

p

e

cos.

(2.1.7)

4 0

r

4 0

r

Из формулы (2.1.7) следует, что поле диполя определяется его электрическим моментом р_e.

 

Вычислим напряженность поля диполя, используя соотноше-ние (1.11.2). Для этого воспользуемся выражением градиента в по-лярной системе координат:

1

1

E grad

e

e

e

e

E e

E e, (2.1.8)

r

r

r

r

r

r

r r

где e_r, e – орты полярной системы координат.

 

Er

pe

2 pe

(2.1.9)

cos

cos;

r

r 40 r 2

4 0 r 3

E

1

1

pe

cos

pe

sin.

(2.1.10)

r

r

4 0

r 2

4 0 r 3

Так как составляющие E

и E

взаимно перпендикулярны, то мо-

r

дуль напряженности Е поля диполя находим следующим образом:

pe

pe

E

E 2

E 2

4cos2 sin2

1 3cos2. (2.1.11)

r 3

r 3

r

Рассмотрим некоторые частные случаи:

 

1. Напряженность и потенциал электростатического поля в точке, лежащей на оси диполя (рис. 2.1.3).

 

		l /2		l /2					E
		O						A
– q		pe + q	r
				Рис. 2.1.3

В этом случае = 0. Из формул (2.1.7) и (2.1.11) следует, что

 

E		2 p e	и			pe	.	(2.1.12)
4 0
	r 3		4 0 r 2

 

В этом случае напряженность и потенциал поля будут макси-мальными для выбранного расстояния r.

 

2. Напряженность поля в точке, лежащей на серединном перпен-дикуляре к оси диполя (рис. 2.1.4).

 

	E
E		А
r –	E		r +
	r
– q	O		+ q

l

 

Рис. 2.1.4

 

В этом случае = 90°. Из формул (2.1.7) и (2.1.11) следует, что

E			pe	и = 0.	(2.1.13)
4 0
		r

В этом случае напряженность поля будет минимальной для вы-бранного расстояния r.

 

На рис. 2.1.5 показаны силовые линии (пунктирные линии) и эк-випотенциальные поверхности (сплошные линии) поля диполя.

 

 

Рис. 2.1.5

 

Согласно выражению (2.1.13), при угле = 90° потенциал обра-щается в нуль для всех точек. Таким образом, все точки плоскости,

 

перпендикулярной оси диполя и проходящей через его середину, имеют нулевой потенциал.