Диполем называется совокупность двух равных зарядов противо-положного знака, находящихся на расстоянии, малом по сравнению с расстоянием до точек, в которых рассматривается его электрическое поле. Линия, проходящая через заряды, называется осью диполя. Век-
тор l, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к поло-
жительному и равный расстоянию между ними, называется плечом диполя (рис. 2.1.1).Вектор,совпадающий по направлению с плечомдиполя и равный произведению модуля заряда на плечо диполя, назы-
вается электрическим моментом диполя:
| (2.1.1) | ||
| pе ql. |
l
– q pe
+q Ось диполя
Рис. 2.1.1
Вычислим сначала потенциал, а затем напряженность поля ди-поля. Это поле обладает осевой симметрией. Поэтому картина поля в любой плоскости, проходящей через ось диполя, будет одной и той
же, причем вектор E лежит в этой плоскости. Положение точки от-носительно диполя будем характеризовать с помощью радиуса-вектора r либо с помощью полярных координат r и (рис. 2.1.2).
Расстояния от зарядов +q и – q до данной точки А обозначим соответственно через r+ и r–.
| E Er | |||||||||||||||||||||||
| E | e | А | er | ||||||||||||||||||||
| r | r | r | |||||||||||||||||||||
| M | O | N | |||||||||||||||||||||
| − q | l /2 | l | l /2 | + q | |||||||||||||||||||
| Рис. 2.1.2 | |||||||||||||||||||||||
| Потенциал в точке А равен: | |||||||||||||||||||||||
| 1 q q | q | r | r | ||||||||||||||||||||
| . | (2.1.2) | ||||||||||||||||||||||
| r | r | r r | |||||||||||||||||||||
Так как r >> l (согласно определению электрического диполя), то можно считать, что r + r – r 2, тогда
| q | r | r | ||||||
| . | (2.1.3) | |||||||
| 4 0 | r | |||||||
Используя теорему косинусов, запишем для треугольников МАО и NAO (рис. 4.2) выражения
| r 2 | r 2 | l | 2 r | l | cos 180 r 2 | l | rl cos;(2.1.4) | ||||||||||||||||||
| r 2 | r 2 | l | 2 r | l | cos r 2 | l | rl cos. | (2.1.5) | |||||||||||||||||
Вычтем из выражения (2.1.4) выражение (2.1.5) и с учетом того, что r – + r + 2 r, получим:
| r 2 | r 2 | 2 rl cos | r | r | r | r | 2 rl cos | ||||
| r | r | 2 r 2 rl cos | r | r l cos. | (2.1.6) | ||||||
Подставим результат выражения (2.1.6) в выражение (2.1.3):
| q | l cos | p | |||||||||||
| e | cos. | (2.1.7) | |||||||||||
| 4 0 | r | 4 0 | r | ||||||||||
Из формулы (2.1.7) следует, что поле диполя определяется его электрическим моментом рe.
Вычислим напряженность поля диполя, используя соотноше-ние (1.11.2). Для этого воспользуемся выражением градиента в по-лярной системе координат:
| 1 | 1 | |||||||||||||
| E grad | e | e | e | e | E e | E e, (2.1.8) | ||||||||
| r | r | r | r | r | r | r r | ||||||||
где er, e – орты полярной системы координат.
| Er | pe | 2 pe | (2.1.9) | ||||||||||||||||||||||||||
| cos | cos; | ||||||||||||||||||||||||||||
| r | r 40 r 2 | 4 0 r 3 | |||||||||||||||||||||||||||
| E | 1 | 1 | pe | cos | pe | sin. | |||||||||||||||||||||||
| (2.1.10) | |||||||||||||||||||||||||||||
| r | r | 4 0 | r 2 | 4 0 r 3 | |||||||||||||||||||||||||
| Так как составляющие E | и E | взаимно перпендикулярны, то мо- | |||||||||||||||||||||||||||
| r |
дуль напряженности Е поля диполя находим следующим образом:
| pe | pe | |||||||||||||||
| E | E 2 | E 2 | 4cos2 sin2 | 1 3cos2. (2.1.11) | ||||||||||||
| r 3 | r 3 | |||||||||||||||
| r | ||||||||||||||||
Рассмотрим некоторые частные случаи:
1. Напряженность и потенциал электростатического поля в точке, лежащей на оси диполя (рис. 2.1.3).
| l /2 | l /2 | E | ||||||||
| O | A | |||||||||
| – q | pe + q | r | ||||||||
| Рис. 2.1.3 |
В этом случае = 0. Из формул (2.1.7) и (2.1.11) следует, что
| E | 2 p e | и | pe | . | (2.1.12) | ||||
| 4 0 | |||||||||
| r 3 | 4 0 r 2 |
В этом случае напряженность и потенциал поля будут макси-мальными для выбранного расстояния r.
2. Напряженность поля в точке, лежащей на серединном перпен-дикуляре к оси диполя (рис. 2.1.4).
| E | ||||
| E | А | |||
| r – | E | r + | ||
| r | ||||
| – q | O | + q | ||
l
Рис. 2.1.4
В этом случае = 90°. Из формул (2.1.7) и (2.1.11) следует, что
| E | pe | и = 0. | (2.1.13) | |||
| 4 0 | ||||||
| r |
В этом случае напряженность поля будет минимальной для вы-бранного расстояния r.
На рис. 2.1.5 показаны силовые линии (пунктирные линии) и эк-випотенциальные поверхности (сплошные линии) поля диполя.
Рис. 2.1.5
Согласно выражению (2.1.13), при угле = 90° потенциал обра-щается в нуль для всех точек. Таким образом, все точки плоскости,
перпендикулярной оси диполя и проходящей через его середину, имеют нулевой потенциал.
