Примеры применения теоремы Гаусса

 

1. Электростатическое поле бесконечной равномерно заряжен-ной плоскости.

 

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной

 

плотностью + (рис. 1.6.1). Из соображений симметрии следует, что

 

вектор E направлен перпендикулярно плоскости. Так как заряженная плоскость бесконечная, то числовое значение напряженности Е ее по-ля будет одинаковым во всех точках пространства, расположенных на одинаковых расстояниях слева и справа от плоскости. В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндрическую поверхность, осно-вания которой параллельны плоскости, а ось перпендикулярна ей. То-гда в точках левого и правого оснований проекция E_n = E = const, а в

точках боковой поверхности Е_n = 0, т. к. вектор E перпендикулярен

 

нормали n к боковой поверхности. Поток вектора E через замкнутую цилиндрическую поверхность будет равен:

 

En dSEn dSE n dS		En dSEn dSEn dS
S	S 1	S 2	S бок	S 1	S 2
	EdS EdS 2 E dS 2 ES.	(1.6.1)
	S	S		S

 

Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической по-верхности, равен: q = S. Согласно теореме Гаусса получаем:

 

E n dS

q

2 ES

S

E

.

(1.6.2)

0

0

S

2 0

+ > 0

E

E

l

l

dS

n

n

dS

+ +

S

E

n

+ + + +

+ + + +

q = S

E

+ +

E

S 2

S 1

E

E

 

 

Рис. 1.6.1

 

Напряженность электростатического поля бесконечной равно-мерно заряженной плоскости определяется выражением

 

E		.	(1.6.3)
2 0

Из формулы (1.6.3) следует, что напряженность не зависит от рас-стояния до плоскости, а следовательно, она одинакова по модулю во всех точках поля. Это означает, что поле равномерно заряженной плоскости однородно.

 

2. Электростатическое поле бесконечной равномерно заряжен-ной нити.

 

Найдем поле бесконечной равномерно заряженной нити с ли-нейной плотностью заряда (рис. 1.6.2). Из соображений симмет-рии следует, что вектор напряженности E электрического поля на-

 

правлен радиально, т. е. перпендикулярно к оси заряженной нити. Причем во всех точках, равноудаленных от оси нити, численные значения напряженности Е поля одинаковы. Поэтому в качестве замкнутой выберем цилиндрическую поверхность, основания кото-рой перпендикулярны нити, а ось совпадет с ней. Тогда во всех точ-ках верхнего и нижнего оснований проекция вектора напряженно-сти на нормаль Е_n = 0, а в точках на боковой поверхности E_n = E =

 

= const, т. к. вектор E совпадает с нормалью n к боковой поверхно-

 

сти. Поток вектора E через замкнутую цилиндрическую поверх-ность будет равен:

 

En dSEn dS		En dSEndS
S	S 1	S бок	S 2
En dS E dS ES бок E 2 rl.	(1.6.4)
S бок	S бок
	n		> 0
				S
			r
	l		dS
		n

 

 

n

 

Рис. 1.6.2

 

Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической по-верхности, равен: q = l. Согласно теореме Гаусса получаем:

 

EndS	q		E 2 rl		lE		.	(1.6.5)
0	0	2 0 r
S

То есть получаем, что напряженность электрического поля, созда-ваемого бесконечной равномерно заряженной нитью, равна:

 

E		.	(1.6.6)
2 0 r

3. Электростатическое поле равномерно заряженной сферы.

 

Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заря-жена равномерно с поверхностной плотностью +. Благодаря рав-номерному распределению заряда по поверхности поле, создавае-мое им, обладает сферической симметрией. Линии напряженности будут направлены радиально. Поэтому выберем замкнутую по-верхность в виде сферы S радиуса r, имеющей общий центр с заря-

 

женной сферой. В этом случае вектор E, направленный по радиаль-ным линиям, в любой точке выбранной сферической поверхности будет перпендикулярным поверхности и одинаковым по модулю:

E_n = E = const (рис. 1.6.3).

 

 

	E
	S 1
S сф	q > 0
S 2
dS	r
n

 

Сфера радиуса R

 

Рис. 1.6.3

 

1) рассмотрим поле вне сферы (r > R). Внутрь выбранной поверх-ности S ₁ попадает весь заряд q сферы:

 

		q S сф4 R 2.						(1.6.7)
Применим теорему Гаусса:
E dS	q	E 4 r 2	q		E			q	.	(1.6.8)
0	0
S				4 0 r

 

С учетом формулы (2.16) получаем:

 

E	R 2	;	(1.6.9)
0 r 2

 

2) рассмотрим поле внутри сферы (r < R). Замкнутая сферическая поверхность S ₂ не содержит внутри зарядов, поэтому

 

E n dS 0	EdS 0	E dS 0 E 0. (1.6.10)
S 2	S 2	S 2

То есть внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (Е = 0).

 

E

 

 

E 1 r ²

 

 

0 E = 0

 

R r

 

Рис. 1.6.4

 

Графическая зависимость напряженности Е электростатического поля равномерно заряженной сферы от расстояния r представлена на рис. 1.6.4.