Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме в дифференциальной форме

Для решения задачи о нахождении поля по известному неодно-родному распределению зарядов с плотностью (х, у, z) нужны уравнения, содержащие характеристики поля в одной его точке или в ее малой окрестности. Получим такое уравнение из интегральной теоремы Гаусса.

Для преобразования уравнения (1.5.5) применим к его левой части

теорему Остроградского – Гаусса, согласно которой поток вектора A сквозь любую замкнутую поверхность равен интегралу от его дивер-генции по объему, охватываемому этой поверхностью, т. е.

	A_ndS div AdV,	(1.7.1)
S	V

где div A A ^A^x ^A^y ^A^z – дивергенция вектора A.

x y z

Правую часть теоремы Гаусса (1.5.5) можно выразить через объ-емную плотность заряда:

		qdV.			(1.7.2)
		V
Тогда теорема Гаусса примет вид:

E_ndS		q div EdV		dV.	(1.7.3)

S	V		V

Поскольку поверхность S, а следовательно, и объем V, по которо-му проводится интегрирование, являются произвольными, то из по-следнего уравнения получим:


div E	.	(1.7.4)

Уравнение (1.7.4) называется теоремой Гаусса для электроста-тического поля в вакууме в дифференциальной форме.

Лекция № 3

1.8. Работа по перемещению заряда в электростатическом поле.

1.9. Теорема о циркуляции вектора напряженности электростати-ческого поля в интегральной и дифференциальной формах.

1.10. Потенциал. Разность потенциалов. Принцип суперпозиции для электростатических потенциалов.

1.11. Связь между напряженностью и потенциалом. Эквипотенци-альные поверхности.

Работа по перемещению заряда в электростатическом поле.

На помещенный в электростатическое поле напряженностью E пробный заряд q _пр действует сила F q _пр E. Если заряд перемещается в

поле из точки 1 в точку 2, сила F будет совершать работу. Поскольку любое заряженное тело, создающее поле, можно рассматривать как со-вокупность точечных зарядов, то для вычисления работы в любом элек-тростатическом поле определим вначале работу по перемещению проб-ного заряда q _пр в поле точечного неподвижного заряда q (рис. 1.8.1).

			F
	E
dr		dl

1	q пр		2
r
r 1	r 2

Рис. 1.8.1

Элементарная работа, которая совершается силами поля над заря-дом q _пр при перемещении, будет равна:

q _пр q

dA Fdl

Edl

q Edl cos

dl cos

dr,(1.8.1)

пр

4 ₀

r ²

4 ₀

r ²

где dl cos = dr.

Теперь найдем работу по перемещению заряда q _пр между точка-ми 1 и 2:

^r 2

qq _пр

^r 2

qq _пр

A ₁₂ dA

r ²

(1.8.2)

r ²

Из формулы (1.8.2) видно, что работа электростатического поля по перемещению заряда не зависит от траектории, по которой пере-мещается заряд, а определяется только его начальным и конечным по-ложениями. Следовательно, электростатическое поле является потен-

циальным,а электростатические силы– консервативными.