Для решения задачи о нахождении поля по известному неодно-родному распределению зарядов с плотностью (х, у, z) нужны уравнения, содержащие характеристики поля в одной его точке или в ее малой окрестности. Получим такое уравнение из интегральной теоремы Гаусса.
Для преобразования уравнения (1.5.5) применим к его левой части
теорему Остроградского – Гаусса, согласно которой поток вектора A сквозь любую замкнутую поверхность равен интегралу от его дивер-генции по объему, охватываемому этой поверхностью, т. е.
| AndS div AdV, | (1.7.1) | |
| S | V |
где div A A Ax Ay Az – дивергенция вектора A.
x y z
Правую часть теоремы Гаусса (1.5.5) можно выразить через объ-емную плотность заряда:
| qdV. | (1.7.2) | |||||||
| V | ||||||||
| Тогда теорема Гаусса примет вид: | ||||||||
| EndS | q div EdV | dV. | (1.7.3) | |||||
| S | V | V |
Поскольку поверхность S, а следовательно, и объем V, по которо-му проводится интегрирование, являются произвольными, то из по-следнего уравнения получим:
| div E | . | (1.7.4) | ||
Уравнение (1.7.4) называется теоремой Гаусса для электроста-тического поля в вакууме в дифференциальной форме.
Лекция № 3
1.8. Работа по перемещению заряда в электростатическом поле.
1.9. Теорема о циркуляции вектора напряженности электростати-ческого поля в интегральной и дифференциальной формах.
1.10. Потенциал. Разность потенциалов. Принцип суперпозиции для электростатических потенциалов.
1.11. Связь между напряженностью и потенциалом. Эквипотенци-альные поверхности.
Работа по перемещению заряда в электростатическом поле.
На помещенный в электростатическое поле напряженностью E пробный заряд q пр действует сила F q пр E. Если заряд перемещается в
поле из точки 1 в точку 2, сила F будет совершать работу. Поскольку любое заряженное тело, создающее поле, можно рассматривать как со-вокупность точечных зарядов, то для вычисления работы в любом элек-тростатическом поле определим вначале работу по перемещению проб-ного заряда q пр в поле точечного неподвижного заряда q (рис. 1.8.1).
| F | ||||
| E | ||||
| dr | dl | |||
| 1 | q пр | 2 | ||
| r | ||||
| r 1 | r 2 |
q
Рис. 1.8.1
Элементарная работа, которая совершается силами поля над заря-дом q пр при перемещении, будет равна:
| q пр q | q пр q | |||||||||||
| dA Fdl | q | Edl | q Edl cos | dl cos | dr,(1.8.1) | |||||||
| пр | пр | 4 0 | r 2 | 4 0 | r 2 | |||||||
где dl cos = dr.
Теперь найдем работу по перемещению заряда q пр между точка-ми 1 и 2:
| r 2 | qq пр | qq пр | r 2 | dr | qq пр | ||||||||||||||||
| A 12 dA | dr | r 2 | . | (1.8.2) | |||||||||||||||||
| r 2 | r | r | |||||||||||||||||||
| r | r | ||||||||||||||||||||
Из формулы (1.8.2) видно, что работа электростатического поля по перемещению заряда не зависит от траектории, по которой пере-мещается заряд, а определяется только его начальным и конечным по-ложениями. Следовательно, электростатическое поле является потен-
циальным,а электростатические силы– консервативными.
