Работа сил консервативного поля может быть представлена как
изменение потенциальной энергии, взятое с обратным знаком:
| A 12= – (П2–П1) =П1–П2. | (1.10.1) |
Сопоставление формул (1.8.2) и (1.10.1) приводит к выражению для потенциальной энергии заряда q пр в поле точечного заряда q:
| П | qq пр | const. | (1.10.2) | |||
| 4 0 | r | |||||
Значение константы (const) выбирается таким образом, чтобы при
удалении заряда на бесконечность потенциальная энергия обращалась
в нуль, поэтому получаем, что const = 0, а
| П | qq пр | . | (1.10.3) | |||
| 4 0 | r | |||||
Потенциальная энергия, которой обладает пробный заряд, зависит
не только от его значения, но и от величин, характеризующих элек-
тростатическое поле. Поэтому различные пробные заряды в одной и
той же точке поля будут обладать различной энергией. Но отношение
П/ q пр для всех зарядов будет одним и тем же. Это отношение называ-
ется потенциалом поля в данной точке:
| П | . | (1.10.4) |
q пр
Потенциал есть скалярная физическая величина,численно равнаяпотенциальной энергии, которой обладал бы в данной точке единич-ный пробный заряд. Потенциал является энергетической характери-стикой электрического поля.
Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом, равен:
| q . | (1.10.5) | |||
| 4 0 | ||||
| r |
Если q > 0, то > 0; если q < 0, то < 0.
Любой заряд q, находящийся в точке поля с потенциалом, обла-дает потенциальной энергией П = q, а работа сил поля, совершаемая при перемещении заряда из точки 1 в точку 2, может быть выражена следующим образом:
| A 12=П1–П2= q (1–2) = q. | (1.10.6) |
Величину (1 – 2) = называют разностью потенциалов между точками 1 и 2.
Если заряд из точки 1 с потенциалом удаляется на бесконечность (где потенциал равен нулю), то работа сил поля равна A 1 = q. Отсюда следует, что потенциал электростатического поля численно равен ра-
боте, которую совершают силы поля над единичным положительным
зарядом при его удалении из данной точки на бесконечность.
В системе СИ за единицу измерения потенциала и разности по-
тенциалов принимают 1 В (вольт).
Рассмотрим поле, создаваемое системой точечных зарядов q 1, q 2, …, qn. Расстояния от каждого из зарядов до данной точки поляобозначим r 1, r 2, …, rn. Работа, совершаемая силами этого поля по пе-ремещению пробного заряда q пр, будет равна алгебраической сумме работ сил электростатического поля, создаваемого каждым из зарядов
в отдельности:
| n | |||||||||
| A 12 Ai. | (1.10.7) | ||||||||
| i 1 | |||||||||
| Каждая из работ Ai равна: | |||||||||
| A | q пр qi | ||||||||
| . | (1.10.8) | ||||||||
| i | 4 0 | ||||||||
| ri 1 | ri 2 |
Следовательно,
| n | n | n | |||||||||||
| A 12 | q пр qi | qi q пр | qi q пр | . | |||||||||
| 4 0 i 1 | 4 0 i 1 ri 1 | 4 0 i 1 ri 2 | |||||||||||
| ri 1 | ri 2 |
Так как A 12 = П1 – П2, то
| n | qi q пр | n | q | |||||||||||||
| П | q пр | i . | ||||||||||||||
| ri | ||||||||||||||||
| 4 0 i 1 | i 1 | 4 0 ri | ||||||||||||||
| Отсюда следует, что | ||||||||||||||||
| П | n | q | n | |||||||||||||
| i | . | |||||||||||||||
| q пр | 4 0 | ri | i | |||||||||||||
| i 1 | i 1 |
(1.10.9)
(1.10.10)
(1.10.11)
Из выражения (1.10.11) следует принцип суперпозиции потенциа-
лов:потенциал поля,создаваемого системой зарядов,в данной точкеравен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых в этой точке каждым из зарядов в отдельности:
| n | . | |||
| (1.10.12) | ||||
| i |
i 1
Если электростатическое поле создается заряженным телом с рас-пределенным зарядом, то его разбивают на элементарные заряды dq. Такие заряды можно считать точечными, и для них можно применить формулу (1.10.5):
| d | dq . | (1.10.13) | ||
| 4 0 | ||||
| r |
Применяя принцип суперпозиции (1.10.12) в случае распределен-ного заряда, суммирование необходимо заменить интегрированием:
| d. | (1.10.14) |
Принцип суперпозиции потенциалов (1.10.12), (1.10.14) позволяет вычислить потенциал поля любой системы зарядов.
