Рассмотрим поле точечного заряда q (q > 0) и вычислим поток вектора напряженности через сферу радиуса r, в центре которой нахо-
дится заряд q (рис. 1.5.1). В этом случае вектор E в любой точке вы-бранной сферической поверхности будет перпендикулярным поверх-ности и одинаковым по модулю: En = E = const.
| S * | S | r | E | |
n
q
Рис. 1.5.1
Полное число линий, пересекающих сферическую поверхность S, будет равно:
| Ф E N dN En dS EdS E dS ES. | (1.5.1) | |||||||||
| S | S | S | S | |||||||
| Так как для точечного заряда напряженность E | 1 q | , то | ||||||||
| 4 0 r 2 | ||||||||||
| Ф E N | 1 q | 4 r 2 | q | . | (1.5.2) | |||||
| 4 0 r 2 | ||||||||||
Из формулы (1.5.2) следует, что число линий, пересекающих сфе-рическую поверхность S, на любом расстоянии от заряда будет одним и тем же. Полученный результат также справедлив и для замкнутой поверхности S * произвольной формы, охватывающей заряд q, по-скольку каждая линия напряженности, пронизывающая сферу S, пройдет и сквозь поверхность S *.
Если замкнутая поверхность S ** не охватывает заряд (рис. 1.5.2), создающий поле, то общее количество линий напряженности, входя-щих внутрь поверхности S **, будет равно количеству линий, выходя-щих из нее. Поэтому поток вектора напряженности в этом случае бу-дет равен нулю. Для поля точечного заряда справедлива теорема,
предложенная Карлом Фридрихом Гауссом:поток вектора напряжен-
ности поля точечного заряда q сквозь любую замкнутую поверхность S равен заряду q / 0, если эта поверхность охватывает заряд, и равен ну-лю, если поверхность не охватывает заряд.
S *
E
S **
q
Рис. 1.5.2
С учетом принципа суперпозиции теорему Гаусса можно распро-странить на произвольную систему q 1, q 2, …, qn точечных зарядов. Допустим, что внутри замкнутой поверхности S находится k точечных
| зарядов: q 1, q 2, …, qk. В силу принципа суперпозиции напряженность | |||||||||||||
| n | |||||||||||||
| поля, создаваемого всеми зарядами, равна: | EEi. | Поэтому поток | |||||||||||
| i 1 | |||||||||||||
| вектора напряженности через замкнутую поверхность S | |||||||||||||
| Ф | n | n | (1.5.3) | ||||||||||
| E | EdS | E | dS | E dS. | |||||||||
| i | i | ||||||||||||
| S | S i 1 | i 1 S |
Интеграл, стоящий под знаком суммы, равен q / 0 (если заряд на-ходится внутри замкнутой поверхности) или нулю (если находится вне замкнутой поверхности). Следовательно,
| k | k | ||||||||
| Ф E | EdS | qi,или | En dS | qi. | (1.5.4) | ||||
| S | 0 i 1 | S | 0 i 1 |
Получили теорему Гаусса в интегральной форме: поток вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверх-ность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверх-
ности зарядов, деленной на 0.
Если электростатическое поле создается распределенным заря-дом, то теорема Гаусса будет иметь вид:
| EndS | q | , | (1.5.5) | |
| S |
где q – заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S. Величи-ну заряда q можно найти, используя формулы (1.1.3)–(1.1.5).
В ряде случаев, используя теорему Гаусса, характеристики электростатического поля можно рассчитать проще, чем, напри-мер, используя принцип суперпозиции. Теорему Гаусса удобно применять для расчета характеристик симметричных электроста-тических полей (т. е. полей, создаваемых симметричными заря-женными телами).
