Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлек-трике. Вектор электрического смещения

Рассмотрим плоскопараллельную пластинку из изотропного диэлек-трика, помещенную в однородное электростатическое поле. Под действи-ем поля диэлектрик будет поляризоваться. Выделим в поляризованном

 

диэлектрике элементарный объем V в виде наклонной призмы, осно-вания которой выходят на поверхности диэлектрической пластинки

 

(рис. 2.7.1).

 

n

	Pn	P
	+ =
	S
pe
E	l
	A
		V = S l cos

 

– = –

 

Рис. 2.7.1

 

С одной стороны, дипольный момент p_e выделенного элементарного объема равен произведению поляризованности Р на величину его объема:

N

p_e p_ei P V P S l cos. (2.7.1)

i 1

 

С другой стороны, поверхностные заряды на основаниях призмы образуют электрический диполь. Его дипольный момент равен:

 

pe				(2.7.2)
q lS l.
Сравнив формулы (2.7.1) и (2.7.2), получим:
				(2.7.3)
PSl cos Sl	P cos	Pn,

т. е. поверхностная плотность связанных зарядов некоторой элементар-ной площадки равна нормальной составляющей вектора поляризации.

 

Формула (2.7.3) показывает, что нормальная составляющая Р_n представляет по величине количество электричества, смещаемое при поляризации через единичную площадку в направлении нормали n к ней. Эта интерпретация применима и в случае неоднородной поля-

 

ризации, когда вектор P меняется от точки к точке. В этом случае ди-электрик можно разделить на малые объемы, в пределах каждого из которых поляризация может считаться однородной.

 

Внутри диэлектрика на внешнее электрическое поле E ₀ наклады-вается дополнительное электрическое поле E связанных зарядов.

 

Определим значение избыточного связанного заряда, который возни-кает при поляризации диэлектрика внутри произвольной заданной замкнутой поверхности S (см. рис. 2.7.2).

 

 

dS

E

 

 

E_n

 

_V q св

 

S

 

Рис. 2.7.2

 

Под действием электрического поля связанные заряды молекул, находящихся вблизи поверхности S, сместятся так, что их положи-тельные и отрицательные заряды будут находиться по разные сторо-ны поверхности S. Заряд dq, смещенный при поляризации через

 

площадку dS в направлении нормали, согласно формуле (2.7.3) равен P_ndS. Через всю поверхность S в направлении нормали n будет сме-щаться заряд

 

qdqPndS.

(2.7.4)

S S

В результате объем V диэлектрика, заключенный внутри замкну-той поверхности S, приобретет избыточный связанный заряд, равный по значению и противоположный по знаку наружному поверхностно-му заряду:

 

q св q	PndSPdS.	(2.7.5)
S	S

 

Применим теорему Гаусса (1.5.5) к замкнутой поверхности S, добавив при этом к свободным зарядам q избыточный связанный за-ряд q _св:

 

q q св

EdS

EdS

q

PdS

S

S

S

0

PdS

EdS

q

P 0 E dS

q.

(2.7.6)

S

S

S

 

Величину D ₀ E P назвали вектором электрического смеще-

ния (единица измерения в системе СИ[ D ] =Кл/м²).Вектором элек-трического смещения D описывается электрическое поле, создавае-

 

мое свободными зарядами. Поле вектора электрического смещения изображается с помощью линий электрического смещения, направле-ние и густота которых определяются точно так же, как и для линий напряженности. Если линии вектора напряженности могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах – свободных и связанных, то линии вектора электрического смещения начинаются и заканчиваются толь-ко на свободных зарядах.

Из выражения (2.7.6) следует:
			Dn dS q.
DdS	q,или	(2.7.7)
S			S

 

Выражение (2.7.7) является теоремой Гаусса для электростати-

 

ческого поля в диэлектрике:поток вектора смещения электрическогополя в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность ра-вен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов.

 

Если правую часть теоремы Гаусса для электростатического поля в диэлектрике (2.7.7) выразить через объемную плотность заряда (q dV) и применить к выражению D_n dS теорему Остроградско-

 

V			S
го – Гаусса, то получим:
div DdVdV		div D.	(2.7.8)
V	V

 

Уравнение (2.7.8) называется теоремой Гаусса для электроста-тического поля в диэлектрике в дифференциальной форме.