второго порядка (ЛДУ−II)
ЛДУ−II называется уравнение вида: у ²+ Р (x) у ¢+ Q (x) у = R (x), где функции Р (х), Q (x), R (x) не зависят от х.
Если R (x)=0, то уравнение называется уравнением без правой части или однородным ЛОДУ−II.
Если R (x)≠0, то уравнение называется уравнением с правой части или неоднородным ЛНДУ−II.
ЛОДУ−II с постоянными коэффициентами.
а у²+ b у¢+ c у=0, где а, b, c – некоторые постоянные.
Составим характеристическое уравнение а k2+ b k+ c =0, которое в зависимости от D может иметь различные решения.
· если D >0, то аk 2+ bk + c =0 имеет два различных действительных корня k 1 и k 2, тогда ЛОДУ−II имеет общее решение вида:
· если D =0, то аk 2+ bk + c =0 имеет два совпавших действительных корня k 1= k 2= k, тогда ЛОДУ−II имеет общее решение вида:
· если D <0, то аk 2+ bk + c =0 имеет два различных комплексных корня k 1,2= a ± bi, тогда ЛОДУ−II имеет общее решение вида:
ЛНДУ−II с постоянными коэффициентами.
а у²+ b у¢+ c у=R(x), где а, b, c – некоторые постоянные.
Его общее решение имеет вид: 
, где
- общее решение ЛОДУ−II ау² + bу¢ + cу =0;
- частное решение ЛНДУ−II ау² +bу¢+ cу = R (x), которое ищется, в зависимости от правой части по одному из правил.
Правило 1: если правая часть R (x)= Р (х) еkx, где Р (х) – какой-либо многочлен степени m, и если:
· k – не является корнем характеристического уравнения аk 2+ bk + c =0, то у *= Q (х) еkx, где Q (х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.
· k – является однократным корнем характеристического уравнения (то есть один из неравных корней D >0) аk 2+ bk + c =0, то у *= хQ (х) еkx, где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.
· k – является двукратным корнем характеристического уравнения (то есть один из равных корней D =0) аk 2+ bk + c =0, то у *= х 2 Q (х) еkx, где Q (х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.
Замечание 1: Если множитель Р (х) – есть постоянная величина (многочлен нулевой степени), то Q (x) – тоже постоянная величина (многочлен нулевой степени).
Замечание 2: Если множитель R (х) –многочлен, то есть k =0, то y * тоже многочлен.
Правило 2: если правая часть R (x)= еax (P 1(x) cosbx + P 2(x) sinbx) где P 1(x) и P 2(x) –многочлены соответственно степеней m 1 и m 2, и если:
· комплексные числа a ± bi – не является корнями характеристического уравнения аk 2+ bk +c=0, то у *= еax (Q 1(x) cosbx + Q 2(x) sinbx), где Q 1(x) и Q 2(x) –многочлены, степени которых не превышают старшей из степеней m 1 и m 2.
· комплексные числа a ± bi – является корнями характеристического уравнения аk 2+ bk +c=0, то у *= хеax (Q 1(x) cosbx + Q 2(x) sinbx), где Q 1(x) и Q 2(x) –многочлены, степени которых не превышают старшей из степеней m 1 и m 2.
Виды многочленов:
| Многочлен n -ой степени | А 0 хn + А 1 хn -1+…+ Аn -2 х 2+ Аn -1 х + Аn или Ахn + Вхn -1+…+ Uх 2+ Vх + W | Примеры |
| Многочлен четвёртой степени | Ах 4+ Вх 3+ Сх 2+ Dх + E | х 4-2 х 3+3 х 2+8, где А =1; В =-2; С =3; D =0; E =8; |
| Многочлен третьей степени | Ах 3+ Вх 2+ Сх + D | 2 х 3- х 2+4 х, где А =2; В =-1; С =4; D =0; |
| Многочлен второй степени | Ах 2+ Вх + С | -х 2+4 х -3, где А =-1; В =4; С =-3; |
| Многочлен первой степени | Ах + В | х +8, где А =1; В =8; |
| Многочлен нулевой степени | А | 1, где А =1. |
[1] Квантор – от лат. quantum – сколько.
[2] Символ " есть перевёрнутая буква А, которая является начальной буквой английского слова All - все.
[3] Символ $ есть перевёрнутая буква $, которая является начальной буквой английского слова Exist - существовать.
