· Если сходится ряд: 
, то сходится и ряд: 
, и обратно, если сходится ряд: , то сходится и ряд: . Другими словами на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.
Установлено, что сходящиеся ряды можно умножать на число, почленно складывать и вычитать так же, как и конечные суммы:
· Если сходится ряд: 
и его сумма равна S, то и ряд 
где С = const, сходится и его сумма равна cS.
· Если сходятся ряды: и 
и их суммы равны Sа и Sb, то и ряд 
, сходится и его сумма равна Sа ± Sb.
Необходимое условие сходимости ряда:
Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть 
. Данное условие не является достаточным.
Рассмотрим гармонический ряд: 
и он расходится.
Достаточные признаки сходимости положительных рядов
Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда: Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.
Признаки сравнения:
· (сходимости) - Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех n выполняется неравенство 
. Тогда если ряд сходится, то ряд тоже сходится;
· (расходимости) - Пусть даны два ряда с неотрицательными членами 
и 
и для всех n выполняется неравенство 
. Тогда если ряд расходится, то ряд тоже расходится.
Признак Даламбера: Пусть дан ряд с положительными членами и существует 
.
· если q <1 – ряд сходится;
· если q >1 – ряд расходится;
· если q =1 – ряд может и сходиться и расходиться, то есть данный признак неприменим.
Признак Коши: Пусть дан ряд с положительными членами и существует 
.
· если q <1 – ряд сходится;
· если q >1 – ряд расходится;
· если q =1 – ряд может и сходиться и расходиться, то есть данный признак неприменим.
Интегральный признак: Пусть дан ряд 
с положительными членами, являющимися значениями некоторой функции f(x), непрерывной и убывающей на полуинтервале [1; +¥). Тогда ряд 
будет сходиться в том случае, если сходится несобственный интеграл: 
и расходиться в случае его расходимости.
Обобщённый гармонический ряд: 
:
· сходится при a >1;
· расходится при 0< a £1.
Знакопеременный ряд. Признак Лейбница
Ряд называется знакопеременным, если его члены поочерёдно положительны и отрицательны: 
, где аn >0.
Признак Лейбница: Знакопеременный ряд сходится, если его члены стремятся к нулю всё время убывая по абсолютному значению. Итак, должны выполняться два условия:
1) 
;
2) .
Замечание: остаток такого ряда имеет тот же знак, что и первый отбрасываемый член, и меньше его по абсолютному значению.
