Свойства сходящихся рядов. · Если сходится ряд:, то сходится и ряд:, и обратно

· Если сходится ряд: , то сходится и ряд: , и обратно. Другими словами на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.

 

Сходящиеся ряды можно умножать на число, почленно складывать и вычитать так же, как и конечные суммы:

· Если сходится ряд: и его сумма равна S, то и ряд где С = const, сходится и его сумма равна СS.

· Если сходятся ряды: и и их суммы равны S_а и S_b, то и ряд , сходится и его сумма равна S_а ± S_b.

Необходимое условие сходимости ряда:

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть .

Данное необходимое условие не является достаточным (например, гармонический ряд: − и он расходится).

 

Достаточные признаки сходимости положительных рядов

Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда: Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

Признаки сравнения:

· (сходимости) - Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех n выполняется неравенство . Тогда если ряд сходится, то ряд тоже сходится;

· (расходимости) - Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех n выполняется неравенство . Тогда если ряд расходится, то ряд тоже расходится.

 

 

Все теоремы сведём в таблицу:

 

	Изучаемый ряд		Известный ряд	Вывод
		£	− и он сходится	− сходится
		³	− и он сходится	− может и сходиться, и расходиться
		£	− и он расходится	−может и сходиться, и расходиться
		³	− и он расходится	− расходится

Признак Даламбера: Пусть дан ряд с положительными членами и существует .

· если q<1 – ряд сходится;

· если q>1 – ряд расходится;

· если q=1 – ряд может и сходиться и расходиться, то есть данный признак неприменим.

Признак Коши: Пусть дан ряд с положительными членами и существует .

· если q<1 – ряд сходится;

· если q>1 – ряд расходится;

· если q=1 – ряд может и сходиться и расходиться, то есть данный признак неприменим.

Интегральный признак: Пусть дан ряд с положительными членами, являющимися значениями некоторой функции f (x), непрерывной и убывающей на полуинтервале [1; +¥). Тогда ряд будет сходиться в том случае, если сходится несобственный интеграл: и расходиться в случае его расходимости.

 

Обобщённый гармонический ряд: :

· сходится при a>1;

· расходится при 0<a£1.

Ряд	Геометрическая прогрессия	Обобщённый гармонический ряд
Сходится	|q|<1	a>1
Расходится	|q|³1	0<a£1