· Если сходится ряд: 
, то сходится и ряд: 
, и обратно. Другими словами на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.
Сходящиеся ряды можно умножать на число, почленно складывать и вычитать так же, как и конечные суммы:
· Если сходится ряд: 
и его сумма равна S, то и ряд 
где С = const, сходится и его сумма равна СS.
· Если сходятся ряды: и 
и их суммы равны Sа и Sb, то и ряд 
, сходится и его сумма равна Sа ± Sb.
Необходимое условие сходимости ряда:
Если ряд 
сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть 
.
Данное необходимое условие не является достаточным (например, гармонический ряд: 
− и он расходится).
Достаточные признаки сходимости положительных рядов
Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда: Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.
Признаки сравнения:
· (сходимости) - Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех n выполняется неравенство 
. Тогда если ряд сходится, то ряд тоже сходится;
· (расходимости) - Пусть даны два ряда с неотрицательными членами 
и 
и для всех n выполняется неравенство 
. Тогда если ряд расходится, то ряд тоже расходится.
Все теоремы сведём в таблицу:
| Изучаемый ряд | Известный ряд | Вывод | ||
|
| £ | − и он сходится
| − сходится
| |
|
| ³ | − и он сходится
| − может и сходиться, и расходиться
| |
|
| £ | − и он расходится
| −может и сходиться, и расходиться
| |
|
| ³ | − и он расходится
| − расходится
|
Признак Даламбера: Пусть дан ряд с положительными членами и существует 
.
· если q<1 – ряд сходится;
· если q>1 – ряд расходится;
· если q=1 – ряд может и сходиться и расходиться, то есть данный признак неприменим.
Признак Коши: Пусть дан ряд с положительными членами и существует 
.
· если q<1 – ряд сходится;
· если q>1 – ряд расходится;
· если q=1 – ряд может и сходиться и расходиться, то есть данный признак неприменим.
Интегральный признак: Пусть дан ряд 
с положительными членами, являющимися значениями некоторой функции f (x), непрерывной и убывающей на полуинтервале [1; +¥). Тогда ряд 
будет сходиться в том случае, если сходится несобственный интеграл: 
и расходиться в случае его расходимости.
Обобщённый гармонический ряд: 
:
· сходится при a>1;
· расходится при 0<a£1.
| Ряд | Геометрическая прогрессия | Обобщённый гармонический ряд |
|
| |
| Сходится | |q|<1 | a>1 |
| Расходится | |q|³1 | 0<a£1 |
