Ряд (1) 
(с членами произвольных знаков) заведомо сходится, если сходится положительный ряд (2): 
составленный из абсолютных значений членов данного ряда.
Остаток данного ряда (1) по абсолютному значению не превосходит соответствующего остатка ряда (2).
Сумма S данного ряда(1) по абсолютному значению не превосходит суммы S'ряда (2). |S|£S'. Равенство имеет место только тогда, когда все члены ряда (1) — одного знака.
Замечание 1. Ряд (1) может сходиться и тогда, когда ряд (2) расходится.
Определение 1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений его членов (в этом случае сходится и данный ряд).
Определение 2. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд, составленный из абсолютных значений его членов, расходится.
Замечание 2. Сходящийся ряд, у которого все члены положительны или все члены отрицательны, - абсолютно сходящийся.
Исследовать ряд на сходимость:
· 
Данный ряд положительный, поэтому применим признак Даламбера.
Ответ: ряд сходится.
· 
Применим признак Коши для положительного ряда:
Ответ: ряд сходится.
· 
Применим признак Лейбница для знакопеременного ряда. Так как члены ряда стремятся к нулю всё время убывая по абсолютному значению, следовательно, ряд сходится:
Ответ: ряд сходится.
· 
Применим признак сравнения:
Сравним данный ряд с рядом 
.
Применяя интегральный признак сходимости, вычисляем интеграл:
Это значит, что ряд расходится. Так как члены исследуемого ряда 
больше членов рассмотренного расходящегося ряда , делаем вывод о расходимости исследуемого ряда.
Ответ: ряд расходится.
Лекция 15
Степенной ряд.
Стеленным рядом называется ряд вида (1): ао+а1х+а2х2+...+апхп+...,
а также ряд более общего вида (2): ао+а1 (х-х0) +а2х2 (х-х0) 2+...+апхп (х-х0) n+...,
говорят, что он расположен соответственно по степеням х, о или по степеням х - х0.
Постоянные а0, a1,..., ап,... называются коэффициентами степенного ряда.
Если обозначить х-х0 через z, то ряд (2) окажется расположенным по степеням z, т. е. примет вид (1). Поэтому в дальнейшем, если особо не оговорено, степенным рядом именуется ряд вида (1). Степенной ряд всегда сходится при х =0. Относительно сходимости его в других точках могут представиться три случая
1) степенной ряд может расходится во всех точках, кроме х =0, например,
11х1+22х2+33х3+…+ ппхп+...,
у которого общий член ппхп = (пх)п неограниченно увеличивается по абсолютному значению, начиная с момента, когда пх становится больше единицы.
2) степенной ряд может сходиться во всех точках, например,
сумма которого при всяком значении х равна ех.
3) степенной ряд может сходиться в одних точках и расходится в других.
