ЛНДУ II с постоянными коэффициентами

 

а у²+ b у¢+ c у=R(x), где а, b, c – некоторые постоянные.

Его общее решение имеет вид: , где

- общее решение ЛОДУ II а у²+ b у¢+ c у=0;

- частное решение ЛНДУ II а у²+ b у¢+ c у=R(x), которое ищется, в зависимости от правой части по одному из правил.

Правило 1: если правая часть R(x)=Р(х)е^kx, где Р(х) – какой-либо многочлен степени m, и если:

· k – не является корнем характеристического уравнения а k²+ b k+ c =0, то у*=Q(х)е^kx, где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.

· k – является однократным корнем характеристического уравнения (то есть один из неравных корней D>0) а k²+ b k+ c =0, то у*=хQ(х)е^kx, где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.

· k – является двукратным корнем характеристического уравнения (то есть один из равных корней D=0) а k²+ b k+ c =0, то у*=х²Q(х)е^kx, где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.

 

Замечание 1: Если множитель Р(х) – есть постоянная величина (многочлен нулевой степени), то Q(x) – тоже постоянная величина (многочлен нулевой степени).

Замечание 2: Если множитель R(х) –многочлен, то есть k=0, то y* тоже многочлен.

 

Правило 2: если правая часть R(x)=е^ax(P₁(x)cosbx+P₂(x)sinbx) где P₁(x) и P₂(x) –многочлены соответственно степеней m₁ и m₂, и если:

· комплексные числа a±bi – не является корнями характеристического уравнения а k²+ b k+ c =0, то у*=е^ax(Q₁(x)cosbx+Q₂(x)sinbx), где Q₁(x) и Q₂(x) –многочлены, степени которых не превышают старшей из степеней m₁ и m₂.

· комплексные числа a±bi – является корнями характеристического уравнения а k²+ b k+ c =0, то у*=хе^ax(Q₁(x)cosbx+Q₂(x)sinbx), где Q₁(x) и Q₂(x) –многочлены, степени которых не превышают старшей из степеней m₁ и m₂.

.

 

Греческий алфавит
Aa	альфа		Nn	ню (ни)
Bb	бэта (бета)	Xx	кси
Gg	гамма	Oo	омикрон
Dd	дельта	Pp	пи
Ee	эпсилон (ипсилон)	Rr	ро
Zz	дзета	Ss	сигма
Hh	эта	Tt	тау
QqJ	тэта	Ffj	фи
Ii	йота	Cc	хи
Kk	каппа	Uu	юпсилон (ипсилон)
Ll	ламбда (лямбда)	Yy	пси
Mm	мю (ми)	Ww	омега

 

 

 

 

Опр: Пусть дана числовая последовательность а₁, а ₂, а ₃,..., а_n,... Выражение вида

называется числовым рядом или просто рядом. Числа а ₁, а ₂, а ₃,..., а _n... называются членами ряда, член а_n с про­извольным номером — общим членом ряда. Суммы конечного числа членов ряда S ₁= а ₁, S ₂= а ₁+ а ₂, S ₃= а ₁+ а ₂+ а ₃,…, S _n= а ₁+ а ₂+ а ₃+…+ а_n,

называются частичными суммами ряда.

Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм S ₁, S ₂, S ₃,..., S _n,...

 

Опр: Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится к какому-нибудь числу S, которое в этом случае называется суммой ряда. Это запи­сывается так:

 

Опр: Ряд называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм расходится.

Геометрическая прогрессия: b_n = b ₁· q^{n -1}; ;

Частичная сумма S_n, при q¹1 имеет вид:

Если |q|<1, то , то ряд сходится;

Если |q|³1, то , то ряд расходится.