1. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точка М – середина B1C1, N – середина D1С1, К – середина DC, О – точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Определите угол между прямой и плоскостью и найдите его величину:
а) AB1 и АВС; б) АС и АA1В; в) MN и DD1C;
г) MN и DD1B; д) АМ и АВС; е) АС и MKN;
ё) АК и МКN; ж) АC1 и ВСC1; з) DC1 и АСC1;
и) В1D и АСC1; й) АА1 и AMN; к) DD1 и AMN.
2. MABCD – четырёхугольная пирамида, основание которой квадрат ABCD. МD перпендикулярно плоскости АВС, MD = AB, O – точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Определите угол между прямой и плоскостью и найдите его величину:
а) МС и АВС; б) МВ и АВС; в) МА и АВС;
г) МО и АВС; д) АС и МDС; е) АD и MDC;
ё) АВ и MDC; ж) АС и ОАМ; з) АО и ВСМ.
3. Стороны треугольника равны 51, 30 и 27. Из вершины меньшего угла треугольника проведён к его плоскости перпендикуляр длиной 10. Найдите расстояние от концов перпендикуляра до противоположной стороны треугольника.
4. Диагонали ромба равны 60 и 80. В точке пересечения диагоналей к плоскости ромба проведён перпендикуляр длиной 45. Найдите расстояние от конца перпендикуляра до стороны ромба.
Угол между плоскостями. Перпендикулярность плоскостей
1. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точка М – середина ребра D1С1. Укажите взаимное расположение плоскостей и найдите угол между ними:
а) A1BА и D1СD; б) A1B1C1 и DD1С; в) A1BD и B1D1С;
г) B1АС и ADC; д) A1BD и C1DВ; е) A1BD и СC1А;
ё) АB1C1 и ADC; ж) A1МА и B1C1С; з) A1МА и ВB1D;
и) МA1D и СA1D.
2. В правильной пирамиде SABC высота SM равна 3, сторона основания АВ равна 18. Найдите угол между боковой гранью и основанием.
3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребро АВ равно 2, ребро АA1 равно 4. Найдите тангенс угла наклона диагонального сечения AB1C1D к основанию.
4. SABCD – правильная четырёхугольная пирамиды, в которой сторона основания равна 2, а угол между боковой гранью и основанием равен 45°. Найдите высоту пирамиды.
Раздел 5. МНОГОГРАННИКИ.
1. Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если
а) ABCD – квадрат со стороной 2, а AA1 = 3;
б) AB = 6, AC = 10, AB1 = 10;
в) ABCD – квадрат со стороной 4, а диагональ AC1 = 6;
г) ABCD – квадрат со стороной 4, а диагональ AC1 наклонена к основанию под углом 450;
д) AB = 2, BC = 4, а плоскость AB1C1 наклонена к плоскости ABC под углом 600.
2. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если:
а) его измерения 2 см, 3 см и 4 см;
б) площадь его основания 3 см², а высота 5 см;
в) диагональ его основания равна 5 м, одна из сторон основания равна 4 м, а высота равна 2 м;
г) высота равна 3 см, диагональ его основания равна 2 см, а угол, образованные ею с одной из сторон основания, равен 30°.
3. Ширина комнаты 4 м, длина 5м, а высота потолка 3м. Общая площадь окон и двери 8 м2. Найдите площадь обоев, которыми оклеены стены.
4. Прямоугольный параллелепипед с измерениями 1 м, 3 м и 5 м помещён внутрь куба с ребром 6 м. Сделайте рисунок для такого случая и найдите объём свободного места внутри куба.
5. Найдите объём куба, если его диагональ равна d.
6. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 6, 16 и 18. Найдите ребро равновеликого ему куба.
7. В основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм. Найдите его объём, если:
а) высота параллелепипеда 3 см, стороны основания 4 см и 5 см, а один из углов основания 135°;
б) высота параллелепипеда 5 см, диагонали основания 6 см и 10 см, а угол между диагоналями 30°.
8. Найдите объём правильной n-угольной призмы, у которой каждое ребро равно a, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6; г) n = 8.
9. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол 30°. Найдите объём призмы.
10. В основании прямой призмы с высотой, равной 5, лежит трапеция. Найдите объём призмы, если:
а) трапеция прямоугольная с основаниями 4 и 2 и высотой 3;
б) трапеция равнобедренная с боковыми сторонами длины 10 и основаниями 18 и 6.
11. Найдите объём прямой призмы АВСА1В1С1, если АВ=ВС=m, угол ABC равен φ и ВВ1 = BD, где BD – высота треугольника АВС.
12. Найдите объём треугольной призмы АВСА1В1С1, высота которой 3, если:
а) АВС – прямоугольный треугольник с катетами 2 и 4;
б) АВС – равносторонний треугольник со стороной 1.
13. Найдите объём треугольной призмы АВСА1В1С1, если:
а) площадь основания АВС равна 5 см², а боковое ребро АА1 равно 2 см и наклонено к плоскости основания под углом 30°;
б) АВС – равносторонний треугольник со стороной 3 см, а боковое ребро ВВ1 равно 3 см и наклонено к плоскости основания под углом 45°.
в) АВС – треугольник со сторонами 5, 12 и 13, а высота А1М грани АА1В1В наклонена к плоскости основания под углом 60° и равна 2.
г) АВС – треугольник со сторонами 6, 8 и 10, высота боковой грани АА1В1В равна 4, а угол между основанием и этой гранью равен 45°.
14. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами a и b. Боковое ребро равно и составляет со смежными сторонами основания углы, равные φ. Найдите объём параллелепипеда.
15. Найдите объём пирамиды с высотой H, если:
а) H = 2 м, а основанием служит квадрат со стороной 3 м;
б) H= 2,2 м, а основанием служит треугольник АВС, в котором АВ = 20 см, ВС = 13,5 см, угол АВС равен 30°.
16. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, все рёбра которой 2.
17. Рассматривается четырёхугольная пирамида MABCD такая, что в основании её лежит квадрат со стороной 2, а её высота MA равна 3. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
18. Вычислите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если её высота равна 9, апофема – 18.
19. В правильной шестиугольной пирамиде апофема равна 15, высота – 12. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
20. Рассматривается правильная треугольная пирамида MABC, сторона основания которой равна 4, а угол наклона плоскости боковой грани MAB к плоскости основания равен 60°. Пусть MO – высота пирамиды, точка K – середина ребра AB. Найдите:
а) длину отрезка OK;
б) длину высоты MO;
в) площадь основания ABC;
г) объём пирамиды MABC.
21.Найдите объём треугольной пирамиды MABC, если:
а) все плоские углы с вершиной А прямые и AM = AB = AC = 1 см;
б) АВС – правильный треугольник со стороной 2 см, а ребро МА равно 3 см и наклонено к плоскости основания под углом 30°;
в) АВС – равнобедренный треугольник со сторонами АВ = ВС = 2 см и углом АВС = 120°, грань МАВ имеет площадь, равную 4 см², и перпендикулярна основанию АВС;
г) АВС – прямоугольный треугольник, гипотенуза АВ которого равна 13 см, а катет АС = 12 см, вершина М проектируется в середину гипотенузы АВ, грань МАС образует с основанием угол 45°;
д) она является правильной пирамидой, ребро основания которой равно 2 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°;
е) она является правильным тетраэдром, все рёбра которого равны 1.
д) угол наклона боковых граней к основанию.
22.Высота правильной треугольной пирамиды SABC равна 3 
а высота её основания равна 9. Найдите:
а) боковое ребро;
б) апофему;
в) сторону основания;
г) плоский угол при вершине S;
д) угол наклона боковой грани к основанию.
23.Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2 
, высота пирамиды равна 4. Найдите:
а) боковое ребро;
б) высоту основания пирамиды;
в) апофему;
г) расстояние от центра основания O до плоскости боковой грани;
д) расстояние от вершины A до плоскости BSC.
24. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды MABC, если:
а) MA = 5, AB = 6;
б) AB = 2, а высота пирамиды MO = 1;
в) AB = 2 и медиана боковой грани (апофемы) MK наклонена к плоскости основания под углом 300;
г) высота MO равна 3, а плоскость боковой грани MAB наклонена к плоскости основания ABC под углом 450.
25. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ равна 29 см, катет АС равен 21 см. Ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
26. Основание пирамиды – квадрат со стороной 16 см, две боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды, если её высота равна 12 см.
27. Основанием пирамиды является ромб со стороной 6 см. Каждый из двугранных углов при основании равен 45°. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 1,5 см.
28. Основание пирамиды – ромб со стороной 15 см, каждая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 45°. Найдите объём пирамиды, если площадь её боковой поверхности равна 300 см².
29. Основание пирамиды – прямоугольник, площадь которого равна 1 м². Две боковые грани перпендикулярны основанию, а две другие наклонены к нему под углами 30° и 60°. Найдите объём пирамиды.
30. Объём правильной пирамиды MABC равен 2 
см³. Основание АВС пирамиды – правильный треугольник со стороной 3 см. Найдите угол наклона к основанию бокового ребра МА.
31. Объясните, какой должна быть длина ребра правильного тетраэдра, чтобы его площадь полной поверхности была равна 4 см2.
32. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде площади оснований равны 25 см² и 9 см², боковое ребро образует с плоскостью нижнего основания угол 45°. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.
33. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, если:
а) её высота равна H, а двугранный угол при основании равен β;
б) сторона основания равна m, а плоский угол при вершине равен α.
34. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно m и составляет с плоскостью основания угол φ. Найдите объём пирамиды.
35. Сколько центров симметрии имеет:
а) параллелепипед;
б) правильная треугольная призма;
в) двугранный угол;
г) отрезок;
д) шар?
36. Сколько осей симметрии имеет:
а) отрезок;
б) правильный треугольник;
в) круг;
г) шар?
37. Сколько плоскостей симметрии имеет:
а) правильная четырёхугольная призма, отличная от куба;
б) правильная четырёхугольная пирамида;
в) правильная треугольная пирамида;
г) шар?
38. Сколько и каких элементов симметрии имеют правильные многогранники:
а) правильный тетраэдр;
б) правильный гексаэдр;
в) правильный октаэдр;
г) правильный икосаэдр;
д) правильный додекаэдр?
