Тема 9.3. Применение производной к исследованию функций

· правила и формулы дифференцирования функций, перечисленных в программе дисциплины;

· достаточные признаки возрастания и убывания функции, существования экстремумов;

· общую схему исследования функций и построения графиков с помощью производной;

· правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке;

уметь:

· дифференцировать функции, используя таблицу и правила вычисления производных;

· применять производную для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции;

· находить производную второго порядка, применять вторую производную для исследования функции;

· находить наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.

Условия возрастания и убывания функции. Стационарные и критические точки функции. Необходимое и достаточное условие экстремума. Условие выпуклости функции вверх (вниз), наличие точек перегиба. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке. Решение задач на применение производной к исследованию функции и построение графиков.

· понятие производной, ее геометрический и физический смысл;

· правила и формулы дифференцирования функций, перечисленных в программе дисциплины;

· достаточные признаки возрастания и убывания функции, существования экстремумов;

· определение второй производной, ее физический смысл;

· правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке;

уметь:

· дифференцировать функции, используя таблицу и правила вычисления производных;

· вычислять значение производной функции в указанной точке;

· применять производную для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции;

· находить производную второго порядка, применять вторую производную для исследования функции;

· находить наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке;

· решать несложные прикладные задачи на нахождение наибольших и наименьших значений реальных величин.

Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах.

· определение первообразной;

· понятие неопределенного интеграла;

· таблицу и правила вычисления первообразных;

уметь:

· вычислять первообразные элементарных функций с помощью таблиц и правил;

· вычислять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным условиям.

Определение первообразной. Множество всех первообразных для данной функции, понятие неопределенного интеграла. Правила нахождения первообразных. Таблица первообразных основных элементарных.

· определение первообразной;

· таблицу и правила вычисления первообразных;

· понятие определенного интеграла, его геометрический смысл;

· понятие криволинейной трапеции, способ вычисления площади криволинейной трапеции с помощью формулы Ньютона-Лейбница;

· способ вычисления объема тела, полученного вращением криволинейной трапеции;

уметь:

· вычислять первообразные элементарных функций с помощью таблиц и правил;

· находить площади криволинейных трапеций помощью формулы Ньютона-Лейбница;

· применять определенный интеграл для вычисления площадей фигур;

· вычислять объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции.

Понятие определенного интеграла. Понятие криволинейной трапеции. Формула Ньютона – Лейбница. Применение определенного интеграла для вычисления площадей фигур и объемов тела, полученного вращением криволинейной трапеции.

· основные понятия комбинаторики;

· формулы для вычисления числа перестановок, размещений, сочетаний;

уметь:

· решать задачи на подсчет числа перестановок, размещений и сочетаний;

· решать задачи на перебор вариантов.

Комбинаторные конструкции. Формулы для вычисления числа перестановок, размещений, сочетаний. Комбинаторное правило умножения.

· основные понятия комбинаторики;

· формулы для вычисления числа перестановок, размещений, сочетаний;

· формулу бинома Ньютона, треугольник Паскаля;

уметь:

· решать задачи на подсчет числа перестановок, размещений и сочетаний;

· решать задачи на применение бинома Ньютона;

· решать задачи на перебор вариантов.

Решение задач на перебор вариантов, правило умножения, формулы подсчета числа перестановок, размещений, сочетаний. Формула бинома Ньютона, треугольник Паскаля.