Окружности, вписанные и описанные вокруг четырехугольника

Окружность, описанная вокруг четырехугольника

Задача.

Можно ли описать окружность вокруг четырехугольника, если его углы, расположенные последовательно, равны 138, 44, 52, 126 градусов?

Решение.

Для решения задачи воспользуемся теоремой об углах четырехугольника, и окружности, описанной вокруг него, которая гласит: "Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180 градусам". Или другие формулировки: "Сумма противолежащих углов вписанного в окружность четырехугольника равна 180 градусам" или "Сумма противолежащих углов четырехугольника, вокруг которого описана окружность, равна 180 градусам".

Поскольку нам дана четкая последовательность углов, то они разбиваются на пары 138 и 52, а также 44 и 126 градусов. Если вокруг данного четырехугольника можно описать окружность, то сумма каждой пары должна составить 180 градусов.

44 + 126 = 170

138 + 52 = 190

Таким образом, вокруг данного четырехугольника невозможно описать окружность.

Ответ: нет

Задача.

В окружность вписан прямоугольник со сторонами 32см и 24см. Найдите радиус окружности.

Решение.

Центр окружности, описанной вокруг прямоугольника лежит на пересечении диагоналей. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.

Стороны прямоугольника образуют с диагональю прямоугольный треугольник. Таким образом, по теореме Пифагора, длина диагонали прямоугольника будет равна:

d ² = 32² + 24²

d ² = 1600

d = 40

Таким образом, центр описанной окружности вокруг прямоугольника лежит на середине диагонали, значит R = 40 / 2 = 20

Ответ: Радиус описанной вокруг прямоугольника окружности равен 20 см.

Углы четырехугольника

Задачи на нахождение углов четырехугольника Задача. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1,2,4,5 Решение. Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме углов выпуклого многоугольника. Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2). Значит, для нашего случая: 180(n-2)=180*(4-2)=360 градусов Обозначим меньший угол четырехугольника как x, тогда углы такого четырехугольника будут равны: x, 2x, 4x, 5x.	Завдання на знаходження кутів чотирикутника Завдання. Знайдіть кути опуклого чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 1,2,4,5 Рішення. Для вирішення даного завдання скористаємося теоремою про суму кутів опуклого багатокутника. Теорема: Для опуклого n-кутника сума кутів рівна 180°(n-2). Значить, для нашого випадку: 180(n-2)=180*(4-2)=360 градусів Позначимо менший кут чотирикутника як x, тоді кути такого чотирикутника будуть рівні: x, 2x, 4x, 5x.
Исходя из теоремы о сумме углов четырехугольника, имеем: x+2x+4x+5x=360, тогда 12x=360 x=30 Соответственно, остальные углы четырехугольника равны 60, 120 и 150 градусов.	Виходячи з теореми про суму кутів чотирикутника, маємо: x+2x+4x+5x=360, тоді 12x=360 x=30 Відповідно, останні кути чотирикутника дорівнюють 60, 120 і 150 градусів.
Ответ: 30, 60, 120, 150 градусов.	Відповідь: 30, 60, 120, 150 градусів.

Ромб

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел ромб). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение.

Задача

Найдите периметр ромба ABCD, если угол B равен 60градусов, а длина AC составляет 10,5 см.

Решение.

Поскольку AC является диагональю ромба, все стороны ромба равны, то ABC - равнобедренный треугольник. Поэтому углы ABC и ACB равны (углы при основаниях равнобедренного треугольника).

Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусам, то каждый из этих углов будет равен (180° - 60°) / 2 = 60°.

Треугольник, все углы которого равны, является равносторонним. Таким образом, AB = BC = AC.

Зная сторону ромба, найдем его периметр. P = 10,5 * 4 = 42 см

Ответ: 42 см

Задача

У ромба ABCD диагональ BD равна 14 см, длина диагонали AC равна 48 см. Найти длину стороны АВ

Решение.
Поскольку диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам, то

DO = OB = BD / 2
DO = OB = 24 см

AO = OC = AC /2
AO = OC = 7 см

Исходя из того, что диагонали ромба пересекаются под прямім углом, треугольники AOD и AOB - прямоугольные. Откуда

AO² + OB² = AB²
откуда
7² + 24² = AB²
49 + 576 =
625 = AB²
AB =25 см

Ответ: 25 см

Трапеция

Раздел содержит задачи по геометрии (раздел планиметрия) о трапециях.

 

Справочная информация

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.

Трапеция - четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна.
Примечание. В этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции.

Площадь трапеции

где
a и b - параллельные основания трапеции
c и d - боковые стороны трапеции
m - средняя линия трапеции
r - радиус вписанной в трапецию окружности
S - площадь трапеции

Трапеция (задачи про основания)

В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа - задайте вопрос на форуме.

Задача

Диагонали BD и AC трапеции ABCD пересекаются в точке O. Длина диагонали BD равна 40 см. Найдите величину отрезка ОD, если основания трапеции BC и ADотносятся как 3 к 7.

Решение.
Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам - AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как 3 к 7. Таким образом:

BO / OD = 3 / 7

По условию задачи, BO + OD = 40, соответственно

OD = 40 - BO

Таким образом,

BO / (40 - BO) = 3 / 7
7BO = 3 (40 - BO)
7BO = 120 - 3BO
10BO = 120
BO = 12

Соответственно, OD = 40 - 12 = 28

Ответ: 28 см

Задача

Разность оснований трапеции равна 4 см, а средняя линия 10 см. Найдите основания трапеции.

Решение.
Обозначим большее основание как а, а меньшее как b. Учтем при этом следующее:

Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме

Значит:

a - b = 4
(a + b) / 2 = 10

Откуда a = b + 4, тогда

(b + 4 + b) / 2 = 10
2b + 4 = 20
b = 8

Следовательно a = b + 4 = 12

Ответ: Основания трапеции равны 8 и 12 см

Трапеция (задачи с диагоналями)

Примечание. В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа - задайте вопрос на форуме.

Задача.
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

Решение.
Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам - AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

AO / OC = AD / BC
9 / 6 = 24 / BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Ответ: 16 см

Задача.
В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение.
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая - то обозначим длину AM = a, длину KD = b (не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK - прямоугольник.

Значит
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Треугольники DBM и ACK - прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

h² + (24 - a)² = (5√17)²
и
h² + (24 - b)² = 13²

Учтем, что a = 16 - b, тогда в первом уравнении
h² + (24 - 16 + b)² = 425
h² = 425 - (8 + b)²

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
425 - (8 + b)² + (24 - b)² = 169
-(64 + 16b + b)² + (24 - b)² = -256
-64 - 16b - b² + 576 - 48b + b² = -256
-64b = -768
b = 12

Таким образом, KD = 12
Откуда
h² = 425 - (8 + b)² = 425 - (8 + 12)² = 25
h = 5

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
, где a b - основания трапеции, h - высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см²

Ответ: площадь трапеции равна 80 см².

Прямоугольная трапеция

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел прямоугольная трапеция). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√"

Задача

В прямоугольной трапеции большая боковая сторона равна сумме оснований, высота равна 12 см. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции.

Решение.
Обозначим трапецию как ABCD. Обозначим длины оснований трапеции как a (большее основание AD) и b (меньшее основание BC). Пусть прямым углом будет ∠A.

Площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции, будет равна
S = ab

Из вершины C верхнего основания трапеции ABCD опустим на нижнее основание высоту CK. Высота трапеции известна по условию задачи. Тогда, по теореме Пифагора
CK² + KD² = CD²

Поскольку большая боковая сторона трапеции по условию равна сумме оснований, то CD = a + b
Поскольку трапеция прямоугольная, то высота, проведенная из верхнего основания трапеции разбивает нижнее основание на два отрезка AD = AK + KD. Величина первого отрезка равна меньшему основанию трапеции, так как высота образовала прямоугольник ABCK, то есть BC = AK = b, следовательно, KD будет равен разности длин оснований прямоугольной трапеции KD = a - b.
то есть
12² + (a - b)² = (a + b)²
откуда
144 + a² - 2ab + b² = a² + 2ab + b²
144 = 4ab

Поскольку площадь прямоугольника S = ab (см. выше), то
144 = 4S
S = 144 / 4 = 36

Ответ: 36 см².