Окружность, описанная вокруг четырехугольника
Задача.
Можно ли описать окружность вокруг четырехугольника, если его углы, расположенные последовательно, равны 138, 44, 52, 126 градусов?
Решение.
Для решения задачи воспользуемся теоремой об углах четырехугольника, и окружности, описанной вокруг него, которая гласит: "Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180 градусам". Или другие формулировки: "Сумма противолежащих углов вписанного в окружность четырехугольника равна 180 градусам" или "Сумма противолежащих углов четырехугольника, вокруг которого описана окружность, равна 180 градусам".
Поскольку нам дана четкая последовательность углов, то они разбиваются на пары 138 и 52, а также 44 и 126 градусов. Если вокруг данного четырехугольника можно описать окружность, то сумма каждой пары должна составить 180 градусов.
44 + 126 = 170
138 + 52 = 190
Таким образом, вокруг данного четырехугольника невозможно описать окружность.
Ответ: нет
Задача.
В окружность вписан прямоугольник со сторонами 32см и 24см. Найдите радиус окружности.
Решение.
Центр окружности, описанной вокруг прямоугольника лежит на пересечении диагоналей. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.
Стороны прямоугольника образуют с диагональю прямоугольный треугольник. Таким образом, по теореме Пифагора, длина диагонали прямоугольника будет равна:
d 2 = 322 + 242
d 2 = 1600
d = 40
Таким образом, центр описанной окружности вокруг прямоугольника лежит на середине диагонали, значит R = 40 / 2 = 20
Ответ: Радиус описанной вокруг прямоугольника окружности равен 20 см.
Углы четырехугольника
| Задачи на нахождение углов четырехугольника Задача. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1,2,4,5 Решение. Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о сумме углов выпуклого многоугольника. Теорема гласит: Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2). Значит, для нашего случая: 180(n-2)=180*(4-2)=360 градусов Обозначим меньший угол четырехугольника как x, тогда углы такого четырехугольника будут равны: x, 2x, 4x, 5x. | Завдання на знаходження кутів чотирикутника Завдання. Знайдіть кути опуклого чотирикутника, якщо вони пропорційні числам 1,2,4,5 Рішення. Для вирішення даного завдання скористаємося теоремою про суму кутів опуклого багатокутника. Теорема: Для опуклого n-кутника сума кутів рівна 180°(n-2). Значить, для нашого випадку: 180(n-2)=180*(4-2)=360 градусів Позначимо менший кут чотирикутника як x, тоді кути такого чотирикутника будуть рівні: x, 2x, 4x, 5x. |
| Исходя из теоремы о сумме углов четырехугольника, имеем: x+2x+4x+5x=360, тогда 12x=360 x=30 Соответственно, остальные углы четырехугольника равны 60, 120 и 150 градусов. | Виходячи з теореми про суму кутів чотирикутника, маємо: x+2x+4x+5x=360, тоді 12x=360 x=30 Відповідно, останні кути чотирикутника дорівнюють 60, 120 і 150 градусів. |
| Ответ: 30, 60, 120, 150 градусов. | Відповідь: 30, 60, 120, 150 градусів. |
Ромб
Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел ромб). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение.
Задача
Найдите периметр ромба ABCD, если угол B равен 60градусов, а длина AC составляет 10,5 см.
Решение.
Поскольку AC является диагональю ромба, все стороны ромба равны, то ABC - равнобедренный треугольник. Поэтому углы ABC и ACB равны (углы при основаниях равнобедренного треугольника).
Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусам, то каждый из этих углов будет равен (180° - 60°) / 2 = 60°.
Треугольник, все углы которого равны, является равносторонним. Таким образом, AB = BC = AC.
Зная сторону ромба, найдем его периметр. P = 10,5 * 4 = 42 см
Ответ: 42 см
Задача
У ромба ABCD диагональ BD равна 14 см, длина диагонали AC равна 48 см. Найти длину стороны АВ
Решение.
Поскольку диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам, то
DO = OB = BD / 2
DO = OB = 24 см
AO = OC = AC /2
AO = OC = 7 см
Исходя из того, что диагонали ромба пересекаются под прямім углом, треугольники AOD и AOB - прямоугольные. Откуда
AO2 + OB2 = AB2
откуда
72 + 242 = AB2
49 + 576 =
625 = AB2
AB =25 см
Ответ: 25 см
Трапеция
Раздел содержит задачи по геометрии (раздел планиметрия) о трапециях.
Справочная информация
Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.
Трапеция - четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна.
Примечание. В этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции.
Площадь трапеции
где
a и b - параллельные основания трапеции
c и d - боковые стороны трапеции
m - средняя линия трапеции
r - радиус вписанной в трапецию окружности
S - площадь трапеции
Трапеция (задачи про основания)
В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа - задайте вопрос на форуме.
Задача
Диагонали BD и AC трапеции ABCD пересекаются в точке O. Длина диагонали BD равна 40 см. Найдите величину отрезка ОD, если основания трапеции BC и ADотносятся как 3 к 7.
Решение.
Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам - AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.
Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как 3 к 7. Таким образом:
BO / OD = 3 / 7
По условию задачи, BO + OD = 40, соответственно
OD = 40 - BO
Таким образом,
BO / (40 - BO) = 3 / 7
7BO = 3 (40 - BO)
7BO = 120 - 3BO
10BO = 120
BO = 12
Соответственно, OD = 40 - 12 = 28
Ответ: 28 см
Задача
Разность оснований трапеции равна 4 см, а средняя линия 10 см. Найдите основания трапеции.
Решение.
Обозначим большее основание как а, а меньшее как b. Учтем при этом следующее:
Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме
Значит:
a - b = 4
(a + b) / 2 = 10
Откуда a = b + 4, тогда
(b + 4 + b) / 2 = 10
2b + 4 = 20
b = 8
Следовательно a = b + 4 = 12
Ответ: Основания трапеции равны 8 и 12 см
Трапеция (задачи с диагоналями)
Примечание. В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа - задайте вопрос на форуме.
Задача.
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.
Решение.
Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.
Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам - AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.
Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть
AO / OC = AD / BC
9 / 6 = 24 / BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16
Ответ: 16 см
Задача.
В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.
Решение.
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая - то обозначим длину AM = a, длину KD = b (не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK - прямоугольник.
Значит
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
Треугольники DBM и ACK - прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора
h2 + (24 - a)2 = (5√17)2
и
h2 + (24 - b)2 = 132
Учтем, что a = 16 - b, тогда в первом уравнении
h2 + (24 - 16 + b)2 = 425
h2 = 425 - (8 + b)2
Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
425 - (8 + b)2 + (24 - b)2 = 169
-(64 + 16b + b)2 + (24 - b)2 = -256
-64 - 16b - b2 + 576 - 48b + b2 = -256
-64b = -768
b = 12
Таким образом, KD = 12
Откуда
h2 = 425 - (8 + b)2 = 425 - (8 + 12)2 = 25
h = 5
Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
, где a b - основания трапеции, h - высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см2
Ответ: площадь трапеции равна 80 см2.
Прямоугольная трапеция
Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел прямоугольная трапеция). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√"
Задача
В прямоугольной трапеции большая боковая сторона равна сумме оснований, высота равна 12 см. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции.
Решение.
Обозначим трапецию как ABCD. Обозначим длины оснований трапеции как a (большее основание AD) и b (меньшее основание BC). Пусть прямым углом будет ∠A.
Площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции, будет равна
S = ab
Из вершины C верхнего основания трапеции ABCD опустим на нижнее основание высоту CK. Высота трапеции известна по условию задачи. Тогда, по теореме Пифагора
CK2 + KD2 = CD2
Поскольку большая боковая сторона трапеции по условию равна сумме оснований, то CD = a + b
Поскольку трапеция прямоугольная, то высота, проведенная из верхнего основания трапеции разбивает нижнее основание на два отрезка AD = AK + KD. Величина первого отрезка равна меньшему основанию трапеции, так как высота образовала прямоугольник ABCK, то есть BC = AK = b, следовательно, KD будет равен разности длин оснований прямоугольной трапеции KD = a - b.
то есть
122 + (a - b)2 = (a + b)2
откуда
144 + a2 - 2ab + b2 = a2 + 2ab + b2
144 = 4ab
Поскольку площадь прямоугольника S = ab (см. выше), то
144 = 4S
S = 144 / 4 = 36
Ответ: 36 см2.
